数学ナビゲーター掲示板 [One Tree All Message]

数学ナビゲーター掲示板

ツリー一括表示
最大公約数 /すき家のねずみ (25/04/04(Fri) 18:08) #52802
`├` Re[1]: 最大公約数 /らすかる (25/04/05(Sat) 14:06) #52805
`│└` Re[2]: 最大公約数 /すき家のねずみ (25/04/19(Sat) 09:45) #52822 解決済み!
`└` Re[1]: 最大公約数 /WIZ (25/04/25(Fri) 14:00) #52826
`└` Re[2]: 最大公約数 /すき家のねずみ (25/04/30(Wed) 16:28) #52841 解決済み!

親記事　/ ▼[ 52805 ] ▼[ 52826 ]

■52802 / 親階層)

　最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(1回)-(2025/04/04(Fri) 18:08:03)

mを2以上の自然数とするとき
2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …
の最大公約数ってどう求めるのでしょうか？

[ □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 52802 ] / ▼[ 52822 ]

■52805 / 1階層)

　Re[1]: 最大公約数

□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2025/04/05(Sat) 14:06:56)

求め方はわかりませんが、
2^m-2,3^m-3,4^m-4,…の最大公約数は
「m-1がp-1で割り切れる」を満たす素数pの積
となるようです。
具体的には、m=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…に対して
最大公約数は2,6,2,30,2,42,2,30,2,66,2,2730,2,…のようになります。
↓参考
oeis.org/A027760

[ 親 52802 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 52805 ] / 返信無し

■52822 / 2階層)

　Re[2]: 最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(2回)-(2025/04/19(Sat) 09:45:03)

とても参考になりましたありがとうございます。
偶数の場合ですら難しいですね。

解決済み!

[ 親 52802 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 52802 ] / ▼[ 52841 ]

■52826 / 1階層)

　Re[1]: 最大公約数

□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2025/04/25(Fri) 14:00:43)

# 解決済みになってるけど、解けた気がするので投稿しちゃいます!

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

{2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …}の最大公約数をg(m)とします。
nを2以上の自然数とすれば、n^m-nは偶数なので、mの値に関わらずg(m)は2を因数に持ちます。

(1)mが偶数の場合
q = g(m)/2とおくと、qは自然数です。
g(m) = 2qは2^m-2 = 2(2^(m-1)-1)の約数なので、qは2^(m-1)-1の約数となります。
2^(m-1)-1は奇数なので、qも奇数となります。

qが素因数を持つと仮定し、その素因数のひとつをpとします。pは奇素数となります。
2からp-1までの自然数の中には法pの原始根が存在するので、原始根のひとつをaとします。
pはa^m-a = a(a^(m-1)-1)の約数となりますが、2 ≦ a ≦ p-1なので、pはa^(m-1)-1の約数となります。

a^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p) つまり、a^(m-1) ≡ 1 (mod p)ならば、
フェルマーの小定理とaが法pの原始根であることから、m-1はp-1の倍数でなければなりません。

m-1は奇数で、p-1は偶数なので、m-1はp-1の倍数にはなり得ません。
よって、奇数qの素因数pが存在しないので、q = 1であり、g(m) = 2といえます。

(2)mが奇数の場合
g(m)が素因数pを持つと仮定します。(p = 2も含みます。)
つまり、nを2以上の自然数とするとき、n^m-n = n(n^(m-1)-1)はpを約数に持つと仮定します。

nとn^(m-1)-1は互いに素ですから、仮定の成立には以下の2通りの場合があります。
(2A) n ≡ 0 (mod p)
(2B) n^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p)

nが法pで0に合同である場合、これは(2A)の成立そのものです。
nが法pで0に合同でない場合、nが法pの原始根である可能性もあることから、
(2B)の成立はフェルマーの小定理より、m-1がp-1の倍数であることが必要となります。

従って、nが法pで0に合同であるかないかに関わらず、m-1がp-1の倍数であれば、
n^m-nはpを約数に持ち、pはg(m)の因数であるといえます。

更に、p^m-p = p(p^(m-1)-1)がp^2で割り切れないため、p^2はg(m)の因数とはなり得ないといえます。
以上から、g(m) = Π{m-1がp-1の倍数である素数p}となります。
上記g(m)をmの式で表せるのかは分かりませんでした。

[ 親 52802 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 52826 ] / 返信無し

■52841 / 2階層)

　Re[2]: 最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(3回)-(2025/04/30(Wed) 16:28:33)

ありがとうございます。
難しいですが、なんとなく雰囲気は分かりました。

解決済み!

[ 親 52802 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター