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Nomal 位相数学の問題です /りん (22/07/23(Sat) 23:40) #51928
├Nomal Re[1]: 位相数学の問題です /ひそ (22/07/24(Sun) 01:37) #51929
└Nomal Re[1]: 位相数学の問題です /マシュマロ (22/07/25(Mon) 03:15) #51932


親記事　/ ▼[ 51929 ] ▼[ 51932 ]
■51928 / 親階層) 　位相数学の問題です
□投稿者/ りん 一般人(1回)-(2022/07/23(Sat) 23:40:13)
    (1) X := {(x,y) ∈ R^2 |(x^2 −y^2)(x^2 +y^2 −1) = 0}の基本群を求めよ.
    (2) Y := {(x,y,z) ∈ R^3 |(x^2 +y^2)(y^2 +z^2)(x^2 +y^2 +z^2 −1) = 0}の基本群を求めよ。


    よろしくお願いします。
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▲[ 51928 ] / 返信無し
■51929 / 1階層) 　Re[1]: 位相数学の問題です
□投稿者/ ひそ 一般人(1回)-(2022/07/24(Sun) 01:37:10)
    こちらこそどうかよろしくお願い致します。
[ 親 51928 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 51928 ] / 返信無し
■51932 / 1階層) 　Re[1]: 位相数学の問題です
□投稿者/ マシュマロ 一般人(24回)-(2022/07/25(Mon) 03:15:10)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは☆

    （２）の方が簡単なので、まずそちらから。

    原点Ｏ＝（０，０，０）を基点として考えます。

    ｐ＝（１，０，０），ｑ＝（−１，０，０），ｒ＝（０，０，１），ｓ＝（０，０，−１）

    とおきます。

    Ｏから上記のいずれかの点α∈{ｐ，ｑ，ｒ，ｓ}に動き、その後球面上を
    いずれかの点β∈｛ｐ，ｑ，ｒ，ｓ｝に動いた後、Ｏに戻るという
    道を（α，β）と表すことにします。
    このような道の有限個の積が基本群の類を生成します。

    （α，α）は自明な道〈０〉なので、それ以外の１２通りが生成元と
    なりますが、さらに（α，β）（β，α）＝〈０〉，また
    （α，β）（β，γ）＝（α，γ）　（α，β，γ∈（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ））
    となるので、生成元としては
    a＝（ｐ，ｑ），ｂ＝（ｐ，ｒ），ｃ＝（ｐ，ｓ）
    をとることができます。

    このa，ｂ，ｃで生成される自由群が求める基本群となります。


    （１）も原点О＝（０，０）を基点として考えます。

    ｐ＝（１／√２，１／√２），ｑ＝（−１／√２，１／√２），
    ｒ＝（−１／√２，−１／√２），ｓ＝（１／√２，−１／√２）
    とおきます。

    Оからαに動き、その後円周上をβに動いた後、Оに戻る道を（α，β）とおきます。
    （α，β∈（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ））

    （２）と同様に考えて、a＝（ｐ，ｑ），ｂ＝（ｑ，ｒ），ｃ＝（ｒ，ｓ），ｄ＝（ｓ，ｐ）とおくと
    基本群はa，ｂ，ｃ，ｄで生成される自由群となります。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
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