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Nomal log(1+x)<√x /hulu (21/03/09(Tue) 13:08) #50662
Nomal Re[1]: log(1+x)<√x /らすかる (21/03/10(Wed) 04:20) #50663
  └Nomal Re[2]: log(1+x)<√x /hulu (21/03/10(Wed) 07:51) #50664
    └Nomal Re[3]: log(1+x)<√x /らすかる (21/03/10(Wed) 13:10) #50665
      └Nomal Re[4]: log(1+x)<√x /hulu (21/03/11(Thu) 20:11) #50666 解決済み!


親記事 / ▼[ 50663 ]
■50662 / 親階層)  log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(1回)-(2021/03/09(Tue) 13:08:44)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つような定数aの最小値が(9/10)^2未満であることを示したいです。
    よろしくお願いします。
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▲[ 50662 ] / ▼[ 50664 ]
■50663 / 1階層)  Re[1]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2021/03/10(Wed) 04:20:14)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つようなaの範囲は、
    y=log(1+x)とy=k√xが接するとしてk<aと表せますので、
    「定数aの最小値」は存在しません。

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▲[ 50663 ] / ▼[ 50665 ]
■50664 / 2階層)  Re[2]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(2回)-(2021/03/10(Wed) 07:51:39)
    kが(9/10)^2未満であることは示せるでしょうか?
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▲[ 50664 ] / ▼[ 50666 ]
■50665 / 3階層)  Re[3]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2021/03/10(Wed) 13:10:08)
    2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者)

    はい、示せます。

    f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として
    y=f(x)とy=g(x)がx=t(t>0)で接するとすると
    f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t
    f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t
    2式からkを消去して整理すると
    log(1+t)=2t/(1+t)
    h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2
    x<1のときh'(x)>f'(x)
    x=1のときh'(x)=f'(x)
    x>1のときh'(x)<f'(x)
    f(0)=h(0)=0, f(1)=log2<1=h(1), f(7)=log8>2>h(7)だから
    y=f(x)とy=h(x)は1<x<7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、
    0<x<tでf(x)<h(x)、t<xでf(x)>h(x)となる。

    34/7=1700/350<1701/350=243/50=4.86
    (34/7)^4<4.86^4=557.88550416<558
    (34/7)^17<558^4×4.86=471165046810.56
    e>2.718
    e^3>2.718^3=20.079290232>20
    e^27>20^9=512000000000
    ∴(34/7)^17<e^27
    34/7<e^(27/17)
    1+27/7<e^{2(27/7)/(1+27/7)}
    よってx=27/7のとき1+x<e^(2x/(1+x))なので
    log(1+x)<2x/(1+x)すなわちf(x)<h(x)
    f(x)<h(x)⇔0<x<tだったからt>27/7

    t>27/7から
    6561t>177147/7>25306
    6561t-13439>11867
    (6561t-13439)^2>11867^2=140825689>137560000
    (6561t-13439)^2-137560000>0
    43046721t^2-176346558t+43046721>0
    6561t^2-26878t+6561>0
    6561t^2+13122t+6561>40000t
    6561(1+t)^2>40000t
    4t/(1+t)^2<6561/10000
    2√t/(1+t)<81/100
    k=2√t/(1+t)だったから
    k<81/100=(9/10)^2

    (追記)
    ちなみにkはランベルトのW関数を使うと
    k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2}
    のように具体的な形で書き表すことができます。
    W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので
    k=0.80474234254941181120…となり、確かに
    k<81/100=(9/10)^2となっています。

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▲[ 50665 ] / 返信無し
■50666 / 4階層)  Re[4]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(3回)-(2021/03/11(Thu) 20:11:47)
    ありがとうございました。
    計算が丁寧でとてもよく理解できました。
解決済み!
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