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eの極限 /ネイピア (20/03/16(Mon) 11:56) #50248
`└` Re[1]: eの極限 /m (20/03/16(Mon) 20:10) #50249
`└` Re[2]: eの極限 /ネイピア (20/03/17(Tue) 13:54) #50250 解決済み!

親記事　/ ▼[ 50249 ]

■50248 / 親階層)

　eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(1回)-(2020/03/16(Mon) 11:56:12)

tを実数とするとき
lim[n→∞]n{e^t-(1+t/n)^n}
の求め方を教えて下さい。

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▲[ 50248 ] / ▼[ 50250 ]

■50249 / 1階層)

　Re[1]: eの極限

□投稿者/ m 一般人(6回)-(2020/03/16(Mon) 20:10:53)

$2$e^x$ を $2$\exp (x)$ と書きます。

$2$x = 1/n$ と置き換えることで
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x}$
を求めればokです。

ロピタルを使えば機械的にできます。
分子分母をそれぞれ一回微分すれば
$2$ \frac{(e^t - \exp(1/x \log (1+tx)) )'}{x'} = - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} \times \exp (1/x \log (1+tx))$

ここで
$2$ \exp (1/x \log (1+tx)) = (1+tx)^{1/x} \to e^t$

だから $2$\times$ の前の極限を求めたい。分子分母に $2$t^2$ をかけて $2$y = tx$ と置き換えれば、
$2$ - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} = -t^2 \frac{(y/(1+y) - \log (1+y))}{y^2}$

ここで、もう一回ロピタル（=分子分母二階微分）すれば
$2$ \cdots = -t^2 \frac{-2/(1+y)^3 + 1/(1+y)^2}{2} \to \frac{t^2}{2}$

よって
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x} = \frac{t^2 e^t}{2}$

つまり
$2$ \lim_{n \to \infty} n(e^t - (1+t/n)^n) = \frac{t^2 e^t}{2}$

途中 $2$t^2$ を分母にかけるので $2$t=0$ は別途考える必要があります。
でも $2$t=0$ なら極限は $2$0$ になって、この場合も上の形になることがいえます。

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▲[ 50249 ] / 返信無し

■50250 / 2階層)

　Re[2]: eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(2回)-(2020/03/17(Tue) 13:54:01)

ありがとうございました。

解決済み!

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