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リーマン積分可能性 /もけ (20/01/22(Wed) 12:38) #50206
`└` Re[1]: リーマン積分可能性 /m (20/01/23(Thu) 18:36) #50207
`└` Re[2]: リーマン積分可能性 /もけ (20/01/23(Thu) 22:29) #50208
`└` Re[3]: リーマン積分可能性 /もけ (20/01/24(Fri) 00:07) #50209

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■50206 / 親階層)

　リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(1回)-(2020/01/22(Wed) 12:38:48)

一変数関数f(x)とg(y)がそれぞれ[a,b]と[c,d]でリーマン積分可能なとき、二変数関数f(x)g(y)が[a,b]×[c,d]で積分可能で、その値がf(x)とg(y)をそれぞれリーマン積分したものの積に等しいことを示せ。

この問題がわかりません。リーマン和から考えてみたのですが、二重極限をどうするかなど、完全に手が止まってます。リーマン和から話を進めるやり方で教えてください

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■50207 / 1階層)

　Re[1]: リーマン積分可能性

□投稿者/ m 一般人(1回)-(2020/01/23(Thu) 18:36:07)

$2$J = [a, b], \ K = [c, d], \ I = J \times K$ とし、 $2$I$ の分割 $2$\Delta$ とその代表点 $2$\xi$ にたいし関数 $2$h(x, y) = f(x) g(y)$ のリーマン和を $2$S(h, \Delta, \xi)$ とかく。

$2$\lim_{|\Delta| \to 0} S(h, \Delta, \xi) = \displaystyle\int_J f \times \displaystyle\int_K g$
が代表点の取り方に依存せず成り立つことを示す。

分割 $2$\Delta$ とその代表点 $2$\xi$ を固定する。
記号の確認：
$2$\Delta = \{J_i \times K_j \}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$
$2$\xi = \{(\lambda_{i,j}, \mu_{i, j}) \in J_i \times K_j \}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$
また $2$v(A)$ でAの体積を表す。（たとえば $2$v(I) = (b-a)(d-c)$ ）

ちゃんと書くと長いので要点ぽいところだけ書きます。

$2$f, g$ は有界より $2$\exists M \gt 0, |f| \lt M , |g| \lt M$ が成り立つ。

新たに代表点 $2$\bar{\xi}$ を
$2$J$ の分割 $2$\Delta_x := \{J_i \}_i$ の新しい代表元 $2$\bar{\lambda} = \{\bar{\lambda_i} \}_i$ と
$2$K$ の分割 $2$\Delta_y := \{K_j \}_j$ の新しい代表元 $2$\bar{\mu} = \{\bar{\mu_j} \}_j$ を使って
$2$\bar{\xi} = \{(\bar{\lambda_i}, \bar{\mu_j}) \}_{i, j}$ で定めます。

このとき次が成り立ちます。

1. $2$S(h, \Delta, \bar{\xi}) = S(f, \Delta_x, \bar{\lambda}) S(g, \Delta_y, \bar{\mu}) \to \displaystyle\int_J f \times \displaystyle\int_K g$

2. $2$|S(h, \Delta, \xi) - S(h, \Delta, \bar{\xi})| \leq M v(J) (S(g, \Delta_x) - s(g, \Delta_x)) + M v(K) (S(f, \Delta_y) - s(f, \Delta_y)) \to 0$

（ただし $2$S(g, \Delta_x)$ は過剰和、 $2$s(g, \Delta_x)$ は不足和。）

1のヒント：
代表点がx, yでそろっている（格子点のようになっている）ので二重のΣがΣの積に分解できます。

2のヒント：
$2$|f(\lambda_{i, j})g(\mu_{i, j}) - f(\bar{\lambda_i})g(\bar{\mu_j})| \leq |f(\lambda_{i, j})g(\mu_{i, j}) - f(\lambda_{i, j})g(\bar{\mu_j})| + |f(\lambda_{i, j})g(\bar{\mu_j}) - f(\bar{\lambda_i})g(\bar{\mu_j})|$
$2$ \cdots \leq M|g(\mu_{i, j}) - g(\bar{\mu_j})| + M|f(\lambda_{i, j}) - f(\bar{\lambda_i})|$

1, 2が示せれば２つを組み合わせて証明完了です。
わからないことがあれば聞いてください。

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■50208 / 2階層)

　Re[2]: リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(2回)-(2020/01/23(Thu) 22:29:27)

ご返事ありがとうございます。後半の方はなんとか自分で理解できそうです。ただ、一番最初のf,gの有界について、これはリーマン積分可能⇒有界ということでしょうか？これは必ず成立するのでしょうか？

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■50209 / 3階層)

　Re[3]: リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(3回)-(2020/01/24(Fri) 00:07:34)

すみません、勘違いしていました。解決しました。本当にありがとうございます！

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