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Nomal 互いに素 /掛け流し (17/11/09(Thu) 20:56) #48371
Nomal Re[1]: 互いに素 /muturajcp (18/08/19(Sun) 20:27) #48522


親記事 / ▼[ 48522 ]
■48371 / 親階層)  互いに素
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2017/11/09(Thu) 20:56:57)
    ご教授お願いします。
    「整数a,bについて、
       aとbが互いに素 ⇔ a^m と b^n (m,nは正整数)が互いに素」

    は、整数の素因数分解の一意性より明らか。でしょうか?
    よろしくお願いします。


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▲[ 48371 ] / 返信無し
■48522 / 1階層)  Re[1]: 互いに素
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2018/08/19(Sun) 20:27:05)
    a,b,m,nは自然数
    とすると
    素因数分解の一意性より
    aの素因数分解
    a=Π_{j=1〜L}p_j

    bの素因数分解
    b=Π_{k=1〜M}q_k
    が一意に存在し
    a^m=Π_{j=1〜L}(p_j)^m
    b^n=Π_{k=1〜M}(q_k)^n
    となる

    a,bが互いに素
    とすると
    j=1〜L,k=1〜Mに対してp_j≠q_k
    だから
    a^mとb^nは互いに素

    逆に
    a^mとb^nが互いに素
    とすると
    j=1〜L,k=1〜Mに対してp_j≠q_k
    だから
    a,bが互いに素
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