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Nomal 複素数の計算 /FEED (17/05/10(Wed) 11:26) #47948
Nomal Re[1]: 複素数の計算 /みずき (17/05/10(Wed) 16:56) #47949
  └Nomal Re[2]: 複素数の計算 /FEED (17/05/10(Wed) 18:28) #47950
    └Nomal Re[3]: 複素数の計算 /みずき (17/05/10(Wed) 19:27) #47952
      └Nomal Re[4]: 複素数の計算 /FEED (17/05/10(Wed) 20:58) #47954 解決済み!


親記事 / ▼[ 47949 ]
■47948 / 親階層)  複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 11:26:02)
    aを0でない実数または純虚数、
    zを0でない複素数とするとき、
    |az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|
    の値をaを使わずにあらわしたいです。
    よろしくお願いします。
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▲[ 47948 ] / ▼[ 47950 ]
■47949 / 1階層)  Re[1]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 16:56:41)
    f(a,z)=|az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|とおきます。

    f(a,z)がaを使わずに表せる
    ⇒f(a,z)がzのみで表せる
    ⇒zを固定するとaの値にかかわらずf(a,z)は一定値をとる

    例えば f(1,1+i)=2√2≠-2√2=f(-1,1+i) なので
    f(a,z)はaを使わずには表せないと思います。
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▲[ 47949 ] / ▼[ 47952 ]
■47950 / 2階層)  Re[2]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 18:28:56)
    aの値による場合分けはあるかもしれません。
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▲[ 47950 ] / ▼[ 47954 ]
■47952 / 3階層)  Re[3]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 19:27:31)
    なるほど。分かりました。

    z=x+yi(x,yは実数)とおきます。

    場合1:aが実数のとき
    f(a,z)=|ax+ayi-1/(ax+ayi)+2i|-|ax+ayi-1/(ax+ayi)-2i|
    =|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))+2i|-|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))-2i|
    =√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    =√(((a^2(x^2+y^2)+2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((a^2(x^2+y^2)-2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    =|a|z|+1/(a|z|)+2y/|z||-|a|z|+1/(a|z|)-2y/|z||
    ここで
    |a|z|+1/(a|z|)|≧2かつ|2y/|z||≦2に注意して
    a>0のとき 
    f(a,z)=(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)-(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=4y/|z|=4Im(z)/|z|
    a<0のとき
    f(a,z)=-(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)+(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=-4y/|z|=-4Im(z)/|z|

    場合2:aが純虚数のとき、a=bi(bは0でない実数)とおいて
    f(a,z)=|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))+2i|-|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))-2i|
    =|bxi-by+(y+xi)/(b(x^2+y^2))+2i|-|bxi-by-(y+xi)/(b(x^2+y^2))-2i|
    =√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))-2)^2)
    =√(((b^2(x^2+y^2)+2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((b^2(x^2+y^2)-2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    =|b|z|+1/(b|z|)+2x/|z||-|b|z|+1/(b|z|)-2x/|z||
    ここで
    |b|z|+1/(b|z|)|≧2かつ|2x/|z||≦2に注意して
    b>0のとき
    f(a,z)=(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)-(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=4x/|z|=4Re(z)/|z|
    b<0のとき
    f(a,z)=-(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)+(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=-4x/|z|=-4Re(z)/|z|
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▲[ 47952 ] / 返信無し
■47954 / 4階層)  Re[4]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(3回)-(2017/05/10(Wed) 20:58:55)
    有り難うございます。
    計算を丁寧に書いていただいたので、とてもよく分かりました。
解決済み!
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