数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 95]

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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■50236 / 親記事)

　動点の確率

□投稿者/ まのたろ一般人(1回)-(2020/03/04(Wed) 20:17:20)

長さ1の線分AB上を点Xが移動する。
最初点Xは線分ABの中点にあり、
1秒ごとに確率1/2で線分AXの中点か線分BXの中点に移動する。
n秒後にはじめて線分AXの長さが1/4未満になる確率を求めよ。

教えて下さい。
お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50237 / ResNo.1)

　Re[1]: 動点の確率

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2020/03/04(Wed) 22:09:37)

条件を満たすのは「n-1回目とn回目に初めて2回連続AX側が選択される確率」と同じです。
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がAX側であるパターンの数をa[k]、
k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がBX側であるパターンの数をb[k]とおくと
a[1]=b[1]=1, a[m+1]=b[m], b[m+1]=a[m]+b[m]
このa[k]はフィボナッチ数なので、一般項は
a[k]={(1+√5)^k-(1-√5)^k}/(√5・2^k)
よって求める確率は
a[n-1]/2^n={(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/(√5・2^(2n-1))
となります。
（上の式はn≧2で定義される式ですが、n=1で正しく0となりますのでn≧1で正しい式です。）

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50238 / ResNo.2)

　Re[2]: 動点の確率

□投稿者/ まのたろ一般人(2回)-(2020/03/05(Thu) 06:38:28)

ありがとうございます。
とても分かりやすいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■50223 / 親記事)

　sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(1回)-(2020/03/01(Sun) 17:55:55)

自然数nと0＜r＜1、0＜θ＜πをみたす実数r、θに対して
Σ[k=1→n] r^(2k-1) * sin((2k-1)θ) ＞0
が成り立つことの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50224 / ResNo.1)

　Re[1]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(3回)-(2020/03/02(Mon) 23:46:05)

複素数やオイラーの公式は使っていいですか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50225 / ResNo.2)

　Re[2]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 10:05:08)

大丈夫です、お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50229 / ResNo.3)

　Re[3]: sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(4回)-(2020/03/03(Tue) 13:57:54)

2020/03/03(Tue) 14:17:56 編集(投稿者)
2020/03/03(Tue) 14:16:27 編集(投稿者)

$2$0<r<1, \ 0 \lt \theta \lt \pi/2$ で示せば十分。
（∵
$2$\theta = \pi/2$ のときは $2$\sum r^{2k-1}>0$ となって成立
$2$\pi/2 \lt \theta \lt \pi$ のとき $2$\sin \theta = \sin (\pi - \theta)$ より $2$0 \lt \theta \lt \pi/2$ に帰着
）

複素平面で考える。

$2$ z = r e^{i \theta} \\ P_n = \begin{cases} \sum_{k=1}^n z^{2k-1} & (n \geq 0) \\ - z^{-1} & (n=-1) \end{cases} \\ Q_n = P(n-1) + z^{2n-1}/r^2 \\ R_n = P(n-1) + (1-r^2) z^{2n-1}$
と定める。

$2$P_n$ の虚部 $2$Im(P_n) = \sum_{k=1}^n r^{2k-1} \sin (2k-1) \theta \gt 0$ を示す。

三点 $2$P_{n-1}, P_n, Q_{n+1}$ を通る円を $2$C_n$ 、その内側を $2$D_n$ とする。

次の3つを示せばいい。

(1) $2$P_{n+1} \in D_n \ (n \geq 0)$

(2) $2$D_{n+1} \subset D_n \ (n \geq 0)$

(3) $2$D_0 \subset$ (上半平面 $2$ = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) \gt 0 \}$ )

証明：
図 ttps://www.geogebra.org/classic/uvhyd27f

(1)
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
よって $2$P_{n+1} \in D_n$

(2)
$2$ \angle P_n P_{n+1} Q_{n+2} = \pi - 2 \theta = \angle R_n P_n P_{n+1} \\ r^{2n+1} = |P_{n+1} Q_{n+2}| = |P_n P_{n+1}| = |R_n P_n|$
より円 $2$C_{n+1}$ は三点 $2$R_n, P_n, P_{n+1}$ を通る。

点 $2$R_n$ は線分 $2$P_{n-1} P_n$ の内分点
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
だから（点 $2$P_n$ と $2$C_{n+1}, C_n$ の中心が順に同一直線上に並んで、半径は $2$C_{n+1}$ の方が短いことが言えるから）
$2$D_{n+1} \subset D_n$

(3)
$2$ P_0 = 0, \\ Q_1 + P_{-1} = (e^{i \theta} -e^{- i \theta})/r = 2 i \sin \theta /r$
より、 $2$C_0$ の中心は虚軸正にある。原点を通るから上半平面にある。

もしかしたら、もっと簡単にできるかもしれません。
" $2$\angle ABC$ "は角ABCの意味です。（"\angle"がうまく変換されない。）

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■50233 / ResNo.4)

　Re[4]: sinの不等式

□投稿者/ 6本の電柱一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 22:02:31)

有り難うございました。
図も付けていただいて、よく理解できました。
こんなに発想力がいる問題とは思いませんでした。

解決済み!

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■50226 / 親記事)

　極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(1回)-(2020/03/03(Tue) 12:10:37)

この問題を教えて下さい。

f(x)=e^(kx)*sin(x) (0<x<π) とする。
f(x)の極大点のy座標をp、f(x)の変曲点のy座標をqとする。
lim[k→∞]q/pの値を求めよ。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50228 / ResNo.1)

　Re[1]: 極大と変曲

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 13:28:01)

極大値をとるxはf'(x)=0からksinx+cosx=0なのでx=π-arctan(1/k)
変曲点のxはf''(x)=0からk^2sinx+2kcosx-sinx=0なのでx=π-arctan(2k/(k^2-1))
よって
p=e^(k(π-arctan(1/k)))*sin(π-arctan(1/k))
=e^(k(π-arctan(1/k)))/√(k^2+1)
q=e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))*sin(π-arctan(2k/(k^2-1)))
=2ke^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/(k^2+1)
∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
loglim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))
=lim[k→∞]log{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
=lim[k→∞]k(π-arctan(2k/(k^2-1)))-k(π-arctan(1/k))
=lim[k→∞]karctan(1/k)-karctan(2k/(k^2-1))
=lim[k→∞]{k(1/k)}{(1/k)/arctan(1/k)}-{k・2k/(k^2-1)}{(2k/(k^2-1))/arctan(2k/(k^2-1))}
=-1
から
lim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))=1/e
∴lim[k→∞]q/p=2/e

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50230 / ResNo.2)

　Re[2]: 極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 16:30:28)

ありがとうございます。

高校生向けの問題なのでarctanが出ないように解けますでしょうか？

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■50231 / ResNo.3)

　Re[3]: 極大と変曲

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 18:24:38)

極大値をとるxをuとするとf'(u)=0からksinu+cosu=0なのでtanu=-1/k
変曲点のxをvとするとf''(v)=0からk^2sinv+2kcosv-sinv=0なのでtanv=-2k/(k^2-1)
よって
p=e^(ku)*sinu=e^(ku)/√(k^2+1)
q=e^(kv)*sinv=2ke^(kv)/(k^2+1)
∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(kv)/e^(ku)}
lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
loglim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)
=lim[k→∞]log{e^(kv)/e^(ku)}
=lim[k→∞]kv-ku
=lim[k→∞]k(v/tanv)tanv-k(u/tanu)tanu
=lim[k→∞]k(v/tanv)(-2k/(k^2-1))-k(u/tanu)(-1/k)
=-1
から
lim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)=1/e
∴lim[k→∞]q/p=2/e

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■50232 / ResNo.4)

　Re[4]: 極大と変曲

□投稿者/ ブリリアンto 一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 19:32:49)

ありがとうございます。
とても感謝しております。

解決済み!

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■50218 / 親記事)

　ピタゴラスの定理の簡単な証明

□投稿者/ 日高一般人(5回)-(2020/02/16(Sun) 07:44:17)

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50219 / ResNo.1)

　Re[1]: ピタゴラスの定理の簡単な証明

□投稿者/ 屁留麻亜一般人(3回)-(2020/02/16(Sun) 11:25:53)

　ここは数学の質問をする掲示板です。ピタゴラスの定理は何百通りもの証明が知られています。数学漫才のネタを議論したいのであればあなたのホームグラウンドである

ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581236794/

へお帰りください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50220 / ResNo.2)

　Re[2]: ピタゴラスの定理の簡単な証明

□投稿者/ 日高一般人(6回)-(2020/02/16(Sun) 12:07:01)

■No50219に返信(屁留麻亜さんの記事)
> 　ここは数学の質問をする掲示板です。ピタゴラスの定理は何百通りもの証明が知られています。数学漫才のネタを議論したいのであればあなたのホームグラウンドである
>
> ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581236794/
>
> へお帰りください。

理由を教えていただけないでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50221 / ResNo.3)

　Re[3]: ピタゴラスの定理の簡単な証明

□投稿者/ 通りすがり一般人(2回)-(2020/02/16(Sun) 16:23:05)

□投稿者/ 日高大御所(392回)-(2019/09/26(Thu) 09:43:17)

>>でも、どこかに私に間違いを説明できる人がいるかもわかりません。
> 　そういう奇特な人が現れるまで延々と続けるつもりか？
> 　それならこんな過疎った掲示板でなく
> 　ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567920449/
> で聞いた方が奇特な人を見つけられる可能性が高いぞ。

ありがとうございました。５ちゃんねる掲示板に投稿したら、
奇特な人が、いました。

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■50210 / 親記事)

　複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ 3316 一般人(6回)-(2020/02/07(Fri) 08:40:57)

2020/02/07(Fri) 09:50:33 編集(投稿者)

　添付図の第1行

　　|∫[0→π]i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ|≦∫[0→π]|i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ|

で、右辺が左辺より大きくなる場合を教えてください。

　　∫[0→π]i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ

は、複素平面上で原点を中心とする半径Rの円に沿った積分です。

　たとえば

　　|∑[k=0→N]zk|
　= |z0 + z1 + …… zk| ≦ |z0| + |z1| + …… |zk|
　　　　　　　　　　　　 = ∑[k=0→N]|zk|
からのアナロジーで納得すればいいんですかね？

630×255 => 250×101

_____001.png/17KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50211 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ m 一般人(2回)-(2020/02/07(Fri) 11:20:32)

どんな"場合"が要求されているのかよく分かりません（もう少し詳しく書いてください。）が、例えば

$2$f(z) = z$ の単位円 $2$C: z=e^{i \theta} \ (0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ 上の線積分を考えると

$2$|\displaystyle\int_C f(z) dz| = | \displaystyle\int_0^{2 \pi} f(e^{i \theta}) i e^{i \theta} d \theta | \leq \displaystyle\int_0^{2 \pi} |f(e^{i \theta}) i e^{i \theta} d \theta |$

の左辺は $2$0$ 、右辺は $2$2 \pi$ になります。
ちなみに $2$f(z) = z^n \ (n \neq -1)$ としても、上と同じ結果が成り立ちます。

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■50212 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ 3316 一般人(7回)-(2020/02/07(Fri) 13:02:16)

　ああ、なるほど。
　丁寧な回答まことにありがとうございました。

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