数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 87]

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■ 2006/2/20より、累計：

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■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

■50374 / 親記事)

　数列の一般項

□投稿者/ がじゅまる一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 19:27:16)

a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50375 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の一般項

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2020/06/17(Wed) 03:08:44)

a[n]=2b[n]とおくと
b[1]=3/2, b[n+1]=4(b[n])^3-3b[n]
cosh(3x)=4(coshx)^3-3coshxなので
x=arccosh(3/2)とおけば
b[n]=cosh(3^(n-1)x)
arccosh(3/2)=log((3+√5)/2)なので
b[n]=cosh(3^(n-1)log((3+√5)/2))
=cosh(log{((3+√5)/2)^(3^(n-1))})
={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+1/((3+√5)/2)^(3^(n-1))}/2
={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))}/2
∴a[n]=2b[n]=((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))

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■50378 / ResNo.2)

　Re[1]: 数列の一般項

□投稿者/ bon 一般人(1回)-(2020/06/18(Thu) 10:31:01)

■No50374に返信(がじゅまるさんの記事)
> a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
> 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

らすかる氏の頭脳明晰に慄く ....
がじゅまる様；どのような書籍に　そのような　非線型漸化式が解説してありますか?
他の　非線型漸化式問題達を　提示ください;

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■50377 / 親記事)

　統計学二項分布

□投稿者/ 大学生一般人(3回)-(2020/06/17(Wed) 23:32:55)

統計学、二項分布についての問題が分かりません。

①梅雨時の降雨確率が0.5のとき1週間で少なくとも一日は雨が降る確率P(x>=1)を求めよ。(xは1週間で雨の降った日数で0<=x<=7である。答えだけ分数で答えよ)

②梅雨時の降雨確率が0.5のとき1週間で3日以上雨が降る確率P(x>=3)を求めよ。(xは1週間で雨の降った日数で0<=x<=7である。答えだけ分数で答えよ)

よろしくお願いします。

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■50371 / 親記事)

　連立微分方程式

□投稿者/ gunma 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 15:15:36)

x′1 =－5x1 +4x2,
x′2 =－9x1 +7x2 +te^t
解答をお願いします。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50376 / ResNo.1)

　Re[1]: 連立微分方程式

□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2020/06/17(Wed) 10:31:59)

u = u(t) = x1(t), v = v(t) = x2(t) とおきます。

u' = -5u+4v・・・・・(1)
v' = -9u+7v+t(e^t)・・・・・(2)

(1)より、
v = (1/4)(u'+5u)・・・・・(3)
v' = (1/4)(u''+5u')・・・・・(4)

(3)(4)を(2)に代入して、
(1/4)(u''+5u') = -9u+7(1/4)(u'+5u)+t(e^t)
⇒ u''+5u' = -36u+7(u'+5u)+4t(e^t)
⇒ u''-2u'+u = 4t(e^t)
⇒ (u''-u')-(u'-u) = 4t(e^t)
⇒ {(u'-u)(e^(-t))}' = 4t
⇒ (u'-u)(e^(-t)) = 2t^2+C (Cは積分定数)
⇒ {u(e^(-t))}' = 2t^2+C
⇒ u(e^(-t)) = (2/3)t^3+Ct+D (Dは積分定数)
⇒ u = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}

検算
u' = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}+(e^t){2t^2+C} = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}
u'' = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+(e^t){2t^2+4t+C} = (e^t){(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D}
{u''-2u'+u}(e^(-t)) = {(2/3)t^3+Ct+D}-2{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+{(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D} = 4t
OK!

上記結果を(3)に代入して、
v = (1/4)(e^t){{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+5{(2/3)t^3+Ct+D}}
= (1/4)(e^t){(12/3)t^3+2t^2+6Ct+C+6D}
= (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}

検算
v' = (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+(e^t){3t^2+t+(3/2)C}
= (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}

-9u+7v+t(e^t) = (e^t){-9{(2/3)t^3+Ct+D}+7{t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+t}
= (e^t){-6t^3-9Ct-9D+7t^3+(7/2)t^2+(21/2)Ct+(7C+42D)/4+t}
= (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}
OK!

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■50351 / 親記事)

　連立方程式

□投稿者/ 連立一般人(1回)-(2020/05/30(Sat) 21:11:17)

a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3-3abc=1
をみたす実数a,b,cの求め方を教えて下さい。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50353 / ResNo.1)

　Re[1]: 連立方程式

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2020/05/31(Sun) 00:05:58)

a+b+c=p, ab+bc+ca=qとおくと
a^2+b^2+c^2=1 から p^2-2q=1
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}=1 から
p(1-q)=1
q=1-1/p
p^2-2q=1に代入して
p^2-2(1-1/p)=1
p^2-3+2/p=0
p^3-3p+2=0
(p+2)(p-1)^2=0
p=1,-2
q=1-1/pから
p=1のときq=0
p=-2のときq=3/2

(p,q)=(-2,3/2)のとき
a+b+c=-2,ab+bc+ca=3/2
このときa,b,cは三次方程式
x^3+2x^2+(3/2)x+k=0
の3解だが
{x^3+2x^2+(3/2)x+k}'=3x^2+4x+3/2=3(x+2/3)^2+1/6＞0から
実数解一つ、虚数解二つなので不適。

(p,q)=(1,0)のとき
a+b+c=1,ab+bc+ca=0
このときa,b,cは三次方程式
x^3-x^2+k=0
の3解。この三次方程式は0≦k≦4/27のときすべての解が実数解となる。
この三次方程式を解いて、a,b,cは
t+√(t(2-3t)), t-√(t(2-3t)), 1-2t　（順不同）
ただし1/6≦t≦1/2

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■50354 / ResNo.2)

　Re[2]: 連立方程式

□投稿者/ 連立一般人(2回)-(2020/05/31(Sun) 23:41:13)

ありがとうございます。

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■50372 / ResNo.3)

　Re[1]: 連立方程式

□投稿者/ dec 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 18:48:06)

R^3に於ける　円　?

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■50356 / 親記事)

　解析学

□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2020/06/02(Tue) 22:56:02)

答えだけでなく、途中式も教えていただけると嬉しいです。

1125×396 => 250×88

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50357 / ResNo.1)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2020/06/03(Wed) 18:11:13)

[2]のみ解説します。

(1)
x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。
逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。

f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2))
⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2)
0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。

⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2
⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2

x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、
⇒ 1/tan(f(x)) = x

1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。
また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。
・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。
x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。

ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、
tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x))
なので、
⇒ tan(π/2-f(x)) = x
⇒ π/2-f(x) = Arctan(x)
⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)

よって、C = π/2 となります。
上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。

(2)
g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。
g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。
g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。

y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、
tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、
g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y))
(d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)

0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、
よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。
また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。

以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!

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■50368 / ResNo.2)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ nomi 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 01:08:01)

[1]の(1) のみヤリマス　[他は　ご自分で!]
(-Log[2]+Log[3]/2)+1/8 (-4 Log[2]^2+Log[3]^2) x+O[x]^2 で　コタエ」；-Log[2]+Log[3]/2=-(1/2) Log[4/3]

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