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弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
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□投稿者/ ゆゆ 一般人(1回)-(2020/07/22(Wed) 00:54:03)
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弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
答えと回答法を知りたいです。
よろしくお願いします。
問題
座標平面において，原点を中心とする半径 3 の円を C，点 (0, -1) を中心とする半径 8 の円をD とする．C と D にはさまれた領域を E とする．0 <= k <= 3 とする．直線 l と原点との距離が一定値 k であるように l が動くとき，l と E の共通部分の長さの最小値を求めよ．
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Re[1]: 弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
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□投稿者/ X 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
| 2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)
lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
点(0,-1)を点Aとします。
今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
条件から
OH=k
∴△OHPにおいて三平方の定理により
PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
△OPH≡△OQHに注意すると
PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)
さて、条件から
H(kcosθ,ksinθ)
(0≦θ＜2π (P))
と置くことができるのでlの方程式は
(x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
整理をして
xcosθ+ysinθ-k=0
∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
点と直線との間の距離の公式により
AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
=|sinθ+k|
∴(B)を求めるのと同様な過程により
TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
=2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
(B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
を取ります。
以上から求める最小値は
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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