数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 数列 / Page: 0]

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■9983 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ 通りすがり一般人(21回)-(2006/03/10(Fri) 19:58:16)

aはa≧1を満たす定数で、数列{x_n}、{y_n}が　x_1=1/a　y_1=a^3　x_(n+1)=2x_ny_n/(x_n+y_n)　y_(n+1)=(x_n+y_n)/2の時、

（１）x_ny_nをaで表せ
（２）x_n≦a≦y_nを示せ

で、（１）はx_ny_n=a^2となったのですが、（２）が全く見当が付きません。お願いします。

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■9990 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ sp@rk 一般人(7回)-(2006/03/11(Sat) 02:18:29)

まず、仮定から、 $2$x_n\geq 0,y_n\geq 0$ が成り立つこと
がわかります。 $2$x_{n+1}=\frac{{2x_ny_n}}{{x_n+y_n}}$ を変形すると、
$2$ x_{n+1}=\frac{{1}}{{\frac{{x_n+y_n}}{{2}}}}$
となることに気づけば、後は有名な不等式を利用すればOKです。

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■9991 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ はまだ一般人(2回)-(2006/03/11(Sat) 02:22:55)

■No9983に返信(通りすがりさんの記事)
> 相加平均と調和平均の極限は相乗平均になるという事実を背景に作られた問題です。

> 相加平均≧相乗平均より　y_n=(x_(n-1)+y_(n-1))/2≧√(x_(n-1)y_(n-1))=a
> 調和平均≦相乗平均より　同様にしてx_n≦a

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■9992 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ sp@rk 一般人(8回)-(2006/03/11(Sat) 02:34:01)

2006/03/11(Sat) 02:34:58 編集(投稿者)

上の書き込みは、失敗＋表示ミスがあったので訂正します。
まず、仮定から、 $2$x_n,y_n$ ≧ $2$0$ が成り立つことがわかります。
$2$x_{n+1}=2x_ny_n/(x_n+y_n)$ を変形すると、
$2$\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x_n}+\frac{1}{y_n})$
となるので、後は有名な不等式を利用すればOKです。

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■9998 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ 管理人一般人(13回)-(2006/03/11(Sat) 14:46:38)

■No9992に返信(sp@rkさんの記事)
> 2006/03/11(Sat) 02:34:58 編集(投稿者)
>
> 上の書き込みは、失敗＋表示ミスがあったので訂正します。

sp@rkさん、TEX入力を利用して頂きありがとうございます。
TEX入力を数式の画像に変換するのにmimetexを用いていますが、mimetexでは\geqqを認識しないようです。
よって”≧”の記号を表示することができません。掲示板のプログラムで\geqqを\geqに変換するようにしました。
したがって、”≧”を表示しようとしても” $2$\geq$ ”と表示されます。ご理解をお願いします。

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■9999 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ 通りすがり一般人(24回)-(2006/03/11(Sat) 14:54:44)

どうも親切にありがとうございました。これでナゾが解けました。

解決済み!

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