 | 大変な問題ですね．
かなり大変なので，かなりポイントのみの解説にさせていただきます．
まずは，(p,p-2/4)を中心とする円の内部を不等式で求めます．
(x-p)^2 + (y-p^2/4)^2≦{p^2/4}^2
このあと，
⇔ (1-y/2)*p^2 -2xp +(x^2+y^2) ≦0
⇔ (2-y)*p^2 -4xp +2(x^2+y^2)≦0 …(*)のようにpについて整理します．
ここからは，よくむずかしめの参考書には必ず載っているのですが
『pが正の範囲を動くときの(x,y)の範囲』⇔『pについての二次不等式(*)が正の解を持つときの係数(x,y)の範囲』
と見ます．
f(p)=(2-y)*p^2 -4xp +2(x^2+y^2)とおきます．(ここでは，pが変数，x,yは定数と見ます)
i) y>2のとき：f(p)は上に凸の放物線になる
従って，f(p)≦0を満たすようなp>0が必ず存在する．
ii) y=2のとき：f(p)=-4xp +2x^2+8
x>0なら，(*)は-4xp+2x^2+8≦0 ⇔ p≧(x^2+4)/2x となるため，必ず(*)は正の解pを持つ
x=0なら，(*)は8≦0なので，不等式を満たさない．
x<0なら，(*)は-4xp+2x^2+8≦0 ⇔ p≦(x^2+4)/2x(<0)なので，(*)を満たすような正の解pは存在しない．
iii)y<2のとき：f(p)は，下に凸の放物線になる
(ここからは二次関数f(p)の状況がわかっているという前提で解答します)
x≦0，つまりf(p)の軸が負なら，f(0)=x^2+y^2≧0なので，p>0でf(p)は必ず正の値をとる．従って，不等式(*)を満たさない．
x>0，つまりf(p)の軸が正なら，
D>0なら，(*)を満たすようなp>0が必ず存在する．
D/4=4x^2+2(y-2)(x^2+y^2)≧0 ⇔ 2y^3 -4y^2+2yx^2≧0
⇔2y*(y^2+x^2-2y)≧0
⇔2y*{x^2 +(y-1)^2-1}≧0
従って，
・y≧0かつx^2+(y-1)^2≧0
・y≦0かつx^2+(y-1)^2≦0 (これを満たすx,yは存在しない)
i),ii),iii)を考えると
y>2の全てのx
0≦y≦2の x>0かつx^2+(y-1)^2≧0を満たす部分
となります．異常に大変です．
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