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■9854 / inTopicNo.1)

　NO TITLE

□投稿者/ kirch 一般人(1回)-(2006/03/05(Sun) 16:45:00)

はじめまして。
2次曲線で少し困っている問題があります。
「楕円x^2/17 + y^2/8 = 1の外部の点P(a,b)から引いた2本の接線が直行するようなPの軌跡を求めよ」
という問題です。
友人曰く易問らしいのですが、僕はどうも取っ掛かりを見つけられずにいます。
誰か、教えてくさい。
お願いします。それでわ。

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■9859 / inTopicNo.2)

　Re[1]: NO TITLE

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1277回)-(2006/03/05(Sun) 18:01:27)

2006/03/05(Sun) 18:14:53 編集(投稿者)

P(X，Y)とおく
(イ) $2$X = \pm \sqrt {17}$ のとき
$2$ Y = \pm \sqrt 8$ (複号任意)にすれば2接線は直交する
(ロ) $2$ X \ne \pm \sqrt {17}$ のとき
Pを通る傾きmの直線はy=m(x-X)+Y
これを楕円の式に代入して整頓すると
$2$ (17m^2 + 8)x^2 - 34(m^2 X - mY)x + 17m^2 X^2 - 34mXY + 17Y^2 - 136 = 0$
y=m(x-X)+Yが接線のとき楕円とは接しているからこの二次方程式の判別式は0，つまり
$2$ \begin{array}{l} D/4 = 17^2 (m^2 X - mY)^2 - (17m^2 + 8)\{ 17m^2 X^2 - 34mXY + 17Y^2 - 136\} \\ = 136\{ (17 - X^2 )m^2 + 2XYm - Y^2 + 8\} = 0 \\ \end{array}$
∴ $2$ (17 - X^2 )m^2 + 2XYm - Y^2 + 8 = 0$
このmの二次方程式の2解は2接線の傾きであり
2接線は直交するから，それらの傾きの積は-1
したがって解と係数の関係より
$2$ \frac{{ - Y^2 + 8}}{{17 - X^2 }} = - 1$
∴ $2$ X^2 + Y^2 = 25$
(イ)は(ロ)に含まれているので，求める軌跡は
$2$ x^2 + y^2 = 25$

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■9860 / inTopicNo.3)

　Re[1]: NO TITLE

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□投稿者/ リストっちベテラン(222回)-(2006/03/05(Sun) 18:06:11)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No9854に返信(kirchさんの記事)
> はじめまして。
> 2次曲線で少し困っている問題があります。
> 「楕円x^2/17 + y^2/8 = 1の外部の点P(a,b)から引いた2本の接線が直行するようなPの軌跡を求めよ」
> という問題です。
> 友人曰く易問らしいのですが、僕はどうも取っ掛かりを見つけられずにいます。
> 誰か、教えてくさい。
> お願いします。それでわ。

http://www.nikonet.or.jp/spring/ball/ball.htm
この(1)と数字が違うだけで解法は同じです．

準円といわれ，一般にx^2/p^2+y^2/q^2=1
の外部の点(a,b)から引いた2本の接線が直交するようなPの軌跡は
x^2+y^2=p^2+q^2となります．

本問で言えばx^2+y^2=17+8=25になります．

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■9945 / inTopicNo.4)

　Re[2]: NO TITLE

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□投稿者/ kirch 一般人(3回)-(2006/03/08(Wed) 20:38:43)

だるまにおんさん、リストっちさん、どうも有難うございます！！
ちょっと考えれば、簡単な問題でしたね…(^_^;)
お手数かけてすいません。
でも、おかげで理解できました。
改めて、ありがとうございます。
そして、遅い返信すいませんでした。

別レスでのことですが、リストっちさんの名前の由来は、
作曲家のフランツ・リストみたいですね。
（僕もずっとリストアップとかの「リスト」と思ってました。すいません）
ちなみに、僕は物理学者のキルヒホッフ（Kirchhoff）ですよ。
時に応じて、というか気分でkirchやkirになったりします。

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