 | (三心一致の問題)
一辺2の正三角形はA(-1,0)，B(1,0)，C(0,√3)とおける．
重心G：3つの点のx座標，y座標を，それぞれ足して3で割る．
G=((-1+1+0)/3，(0+0+√3)/3)=(0,√3/3)
垂心H：A,B,CからBC,CA,ABにそれぞれ垂線を引いたときの交点．
実際，交点は2つの垂線があれば見つかるので，2本だけ線を引きます．
CからABへの垂線：x=0…①
AからBCへの垂線：直線BCはy=(-√3)x+√3なので，AからBCに引いた垂線の傾きは1/√3で，A(-1,0)を通るので
y=(1/√3)*(x+1)…②
①②の交点は(0,√3/3)
外心O'：BC,CA,ABの垂直二等分線の交点
これも，2本だけ引く
ABの垂直二等分線：y軸のx=0…③であることは明らか．
BCの垂直二等分線：B(1,0)，C(0,√3)の中点は(1/2，√3/2)．
BCの傾きは，-√3と先ほど求めたので，y=(1/√3)(x-1/2)+√3/2…④が求める垂直二等分線．
③④の交点は(0,√3/3)
よって，重心，垂心，外心が一致した．
(対称点の問題)
A(a,b)とQ(X,Y)がy=-xに関して対称ということは，『y=-xはA,Qの垂直二等分線』となる．
『y=-xがA,Qの垂直二等分線』ということは次の2つが成立する．
・A,Qの中点がy=-x上
・直線AQがy=-xと直交する(つまり，AQの傾き=1)
・A,Qの中点がy=-x上
A,Qの中点は((a+X)/2，(b+Y)/2)なので，これがy=-x上にあるとき(b+Y)/2=-(a+X)/2 ⇔ X+Y=-a-b…①
・AQの傾きが1
AQの傾きは(Y-b)/(X-a)なので，(Y-b)/(X-a)=1 ⇔ Y-b=X-a ⇔ X-Y=a-b…②
①②より，X=-b，Y=-aなので，Q(-b,-a)
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