 | 多くの不備を抱えながらも一応解いてみましたので，参考にならないかもしれませんが，まぁ一応。。。。。
※積分区間は1→0ではなくて0→1でしょうか？一応0→1にしておきます。
f(t)の逆関数をf^(-1)(t)，原始関数をF(t)と書きます。
f^(-1)(x)≦0のときは.....
0≦t≦1で|f(t)-x|=f(t)-x
0≦f^(-1)(x)≦1のときは.....
0≦t≦f^(-1)(x)で|f(t)-x|=x-f(t)
f^(-1)(x)≦t≦1で|f(t)-x|=f(t)-x
1≦f^(-1)(x)のときは.....
0≦t≦1で|f(t)-x|=x-f(t)
したがってg(x)は
f^(-1)(x)≦0つまりx≦f(0)でg(x)=∫[0→1](f(t)-x)dt=-x+F(1)-F(0)
0≦f^(-1)(x)≦1つまりf(0)≦x≦f(1)でg(x)=∫[0→f^(-1)(x)](x-f(t))dt+∫[f^(-1)(x)→1](f(t)-x)dt=2xf^(-1)(x)-2F(f^(-1)(x))-x+F(0)+F(1)
1≦f^(-1)(x)つまりf(1)≦xでg(x)=∫[0→1](x-f(t))dt=x-F(1)+F(0)
ところで(d/dx){2xf^(-1)(x)-2F(f^(-1)(x))-x+F(0)+F(1)}=2f^(-1)(x)-1だから
x≦f(1/2)でg(x)は減少，f(1/2)≦xでg(x)は増加することになる。
以上よりg(x)はx=f(1/2)で最小値をとる。
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