 | 解説ありがとうございます。
提示した問題の解答はないので合っているかどうかわかりませんが、他の問題の解説を参考に、できるところまでやってみます。
上の問題。
1^2+3^2+5^2+……+(2n-1)^2=1/3n(2n+1)(2n-1)……①
[1]n=1のとき
左辺=(2-1)^2=1,右辺=1/3*1(2*1+1)(2*1-1)=1/3*3*1=1
よって、n=1のとき丸①は成り立つ。
[2]n=kのとき①が成り立つ。すなわち
1^2+3^2+5^2+……+(2k-1)^2=1/3k(2k+1)(2k-1)……②
と仮定する。
n=k+1のとき、①の左辺について考えると、②により
1^2+3^2+5^2+……+(2k-1)^2+(2k)^2=1/3k(2k+1)(2k-1)+(2k)^2
=1/3k((2k+1)(2k-1)+3*(2k)^2)
=?
=1/3k(2k+2)(2k)
ゆえに、①はn=k+1のときにも成り立つ。[1],[2]から、①はすべての自然数nについて成り立つ。
下の問題。
2^n>n^2……①
[1]n=5のとき
左辺=2^5=32,右辺=5^2=25
よって、n=5のとき①は成り立つ。
[2]n=k(k≧5)のとき①は成り立つ、すなわち
2^k>k^2……②
と仮定する。n=k+1のとき、①の両辺の差を考えると、②により
2^k+1-(k+1)^2=2^k+2-(k+1)^2
>2(k^2)-(k+1)^2
=2k^2-2k-1
=?
=(k+1)^2
k≧5であるから、(k+1)^2>0
(ここからなぜ下が成立するのかは不明)
よって、2^k+1>(k+1)^2
ゆえに、①はn=k+1のときにも成り立つ。[1],[2]から、nが5以上の自然数のとき、①が成り立つ。
できるかぎりやってみましたが、中間の一部分が全くわからないので実際に解くと辿りつけないと思うのです。解答を見ても肝心なその部分が載っていないので……。
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