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■9455 / inTopicNo.1)  整数問題
  
□投稿者/ 水無月 一般人(10回)-(2006/02/22(Wed) 13:27:34)
    もう1問お聞きしても良いですか?

    自然数nに対して、n以下の自然数でnとの最大公約数が1であるような自然数の個体をf(n)とする。
    たとえば、n=12に対しては、このような自然数は、1,5,7,11の4個なので、f(12)=4である。また、f(1)=1、素数pに対してはf(p)=p−1である。
    次の問いに答えよ。
    (1)f(77)の値を求めよ。
    (2)f(pq)=24となる2つの素数p、q(ただし、p<qとする>の組を求めよ。
    (3)k、nを自然数とするとき、f(2^k3^n)の値をkとnの式で表せ。
    いま、自然数nについて、dがnの全ての約数を変わるとき、、f(d)全ての和を
    S(n)で表す。
    (4)S(n)=nであることを示せ。

    (1)何とか60とでました。
    でも(2)から解りません。誰か教えてください。
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■9460 / inTopicNo.2)  とりあえず(2)
□投稿者/ だるまにおん 大御所(1238回)-(2006/02/22(Wed) 17:05:32)
    (1)を解いてるときに何か気付きませんでしたか?
    f(77)=60,77=7×11,60=(7-1)×(11-1) …!?
    では、(2)に行ってみましょうか。
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━(。・з・。)━━━━
    pq以下の数でpqとの最大公約数が1でないものは
    p,2p,3p,・・・,(q-1)p,qp

    q,2q,3q,・・・,(p-1)q,(pq)←(さっき出てきた)
    のp+q-1個である(-1はpqがかぶってますからね)
    よってpq以下の数でpqとの最大公約数が1であるものは
    pq-(p+q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)
    ∴f(pq)=(p-1)(q-1)
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■9473 / inTopicNo.3)  Re[2]: とりあえず(2)
□投稿者/ 水無月 一般人(13回)-(2006/02/23(Thu) 01:39:06)
    No9460に返信(だるまにおんさんの記事)
    > (1)を解いてるときに何か気付きませんでしたか?
    > f(77)=60,77=7×11,60=(7-1)×(11-1) …!?

    あ、気づきませんでした。
    ただ1から順に並べて書いていたので。
    でもそういわれてみればっ☆☆


    > よってpq以下の数でpqとの最大公約数が1であるものは
    > pq-(p+q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)
    > ∴f(pq)=(p-1)(q-1)

    すみません。
    何故pqから(p+q−1)を引くのかがよくわかりません。
    もしよければ詳しく教えてもらえますか??
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■9478 / inTopicNo.4)  Re[3]: とりあえず(2)
□投稿者/ だるまにおん 大御所(1240回)-(2006/02/23(Thu) 09:14:14)
    pq以下の自然数の個数はpq個ですよね?
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■9481 / inTopicNo.5)  Re[4]: とりあえず(2)
□投稿者/ 水無月 一般人(15回)-(2006/02/23(Thu) 10:09:28)

    なるほど☆
    (2)が解くことが出来ました。
    ありがとうございました。
    (3)も(2)と同じやり方で解いたら良いのですか?
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