 | 1)y=log|2x+3|
> 絶対値は何のために入っているんでしょうか
|2x+3|≧0とするためです。
> y=log2x+3 と考えて…
だめです。例えばその関数の定義域は(x>-3/2ですが、与式ではx≠-3/2です)
与式は(x>-3/2のとき) y=log(2x+3), (x<-3/2のとき) y=log(-2x-3)
と同じものです。
微分すると、
(x>-3/2のとき) y'=2/(2x+3), (x<-3/2のとき) y'=-2/(-2x-3)=2/(2x+3)
∴y'=2/(2x+3)
> 2)y=(logx)^3
y'=3(logx)^2(logx)'=3(logx)^2/x
> 3)y=log10(←小さい文字)2x
y=log[10](2x)=log(2x)/log10 {底の変換公式}
y'=2/{(2x)log10}=1/{(log10)x}
> 4)y=log|(x+2)/(1-x)|
[log(…)の…の中が常に正になるように気をつけながら変形しましょう。]
(x<-2のとき)y=log{-(x+2)/(1-x)}=log(-x-2)-log(1-x)
y'=-1/(-x-2)+1/(1-x)=(x-1-x-2)/{(x-1)(x+2)}=3/{(1-x)(x+2)}
(-2<x<1のとき)y=log{(x+2)/(1-x)}=log(x+2)-log(1-x)
y'=1/(x+2)+1/(1-x)=(x-1-x-2)/{(x-1)(x+2)}=3/{(1-x)(x+2)}
(x>1のとき)y=log{-(x+2)/(1-x)}
先の結果から、y'=3/{(1-x)(x+2)}
∴y'=3/{(1-x)(x+2)}
（別解）y=log|(x+2)/(1-x)|=log√( {(x+2)/(1-x)}^2 )
=(1/2)log( {(x+2)/(1-x)}^2 )=(1/2){log((x+2)^2)-log((x-1)^2)}
y'=(1/2){2(x+2)/(x+2)^2-2(x-1)/(x-1)^2}=1/(x+2)-1/(x-1)=3/{(1-x)(x+2)}
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