 | (1)
x＞0の両辺に1を加えると1+x＞1
両辺を(1/2)乗すれば√(1+x)＞1・・・(￥)
(1+x)-√(1+x)=√(1+x){√(1+x)-1}＞0 (∵1+x＞1)
∴1+x＞√(1+x)・・・(＄)
(￥)(＄)より1＜√(1+x)＜1+xが示される。
(2)
k/n^2＞0なので(1)より
1＜√(1+k/n^2)＜1+k/n^2
これらを辺ヶkを1からnまで加えると
n＜∑[k=1～n]√(1+k/n^2)＜n+(n+1)/2n
全てをnで割ると
1＜(1/n)∑[k=1～n]√(1+k/n^2)＜1+(n+1)/2n^2
lim[n→∞]{1+(n+1)/2n^2}=1なので
ハサミウチの原理によりlim[n→∞](1/n)∑[k=1～n]√(1+k/n^2)=1
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