 | 京都大学の問題ですね．
虚軸上に解があるので，x=iyとおける(ただしy:実数)
これを，x^5+x^4-x^3+x^2-(a+1)x+a=0に代入すると
i*y^5+y^4 +i*y^3 -y^2 -i(a+1)y+a=0 ⇔ (y^4-y^2+a)+i*(y^5+y^3-(a+1)y)=0
ここで，a,yは実数なので
y^4-y^2+a=0…①
y^5+y^3-(a+1)y=0…②
がともに成り立ちます．
従って，①②が共通解を持つようなaの値を見つければよくなります．
②はy(y^4+y^2-a-1)=0なので，y=0またはy^4+y^2-a-1=0です．場合わけをして考えます．
i)y=0のとき
①がy=0を解にもつときa=0．(このとき，y=0すなわちx=0が解になる)
ii)y^4+y^2-a-1=0のとき
①がy^4+y^2-a-1=0…③ と共通解を持つので，
③-①より，2y^2-2a-1=0 ⇔ y^2=(2a+1)/2 を解に持つ．
また，③+①より，2y^4-1=0 ⇔ y=±1/[4]√2 (yは実数だから)を共通解として持ちます．
([4]√2は2の4乗根です)
よって，y^2=(2a+1)/2が，y=±1/[4]√2 と一致するので1/√2 =(2a+1)/2 ⇔ a=(√2-1)/2
求める答えは，a=0，(√2-1)/2
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