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■9380 / inTopicNo.1) 　確率
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□投稿者/ roney 一般人(3回)-(2006/02/20(Mon) 19:55:02)
    1からN+2(N≧2)までの玉(N+2個)を用意し、手元に1と2の番号のついた玉をおき、残りN個の玉を箱に入れる。さらに、
    「玉を1つ箱から取り出し、手元の玉2個と取り出した玉1個、計3個の玉のうち最も小さい番号の玉を箱に返す」
    という操作をn回繰り返す(n≧1).最後に手元に残った2個の玉の番号のうち小さい方をXとし、大きいほうをYとする。
    (1)Y≦mである確率P(Y≦m)を求めよ。(m=3,4,・・・,N+2)
    (2)X≦mである確率P(X≦m)を求めよ。(m=2,3,・・・,N+1)

    全然分かりません。よろしくお願いします。
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■9385 / inTopicNo.2) 　あまり自信がありませんが…
□投稿者/ Tetsu 一般人(1回)-(2006/02/20(Mon) 22:43:29)
    (1) Yは大きくなることはあっても、小さくなることはありません。したがってn回操作を行って、一度もmより大きい数字の球がでなければいいと思います。

    (2) Xについても、大きくなることはあっても、小さくなることはありません。Xの場合はn回操作を行って、二度以上、mより大きい数字の球がでなければいいと思います。
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■9392 / inTopicNo.3) 　Re[2]: あまり自信がありませんが…
□投稿者/ roney 一般人(4回)-(2006/02/21(Tue) 00:34:13)
    すいませんっ！よくわからないので詳しく教えてください＞＜
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■9400 / inTopicNo.4) 　Re[3]: あまり自信がありませんが…
□投稿者/ Tetsu 一般人(2回)-(2006/02/21(Tue) 08:28:41)
    最後に残るXとYは何を意味してるんでしょう？
    結論を言えば、Yは引いたn個の球の数字の最大値、Xは引いたn個の球の数字のうち、2番目に大きいものです。
    ですから(1)は1度もmより大きい数字の球をひかなければよく、Xは2度以上mより大きい数字の球をひかなければいいことになります。

    ただし(2)は少々面倒です。理由は1回mより大きい数字の球をひくと、mより大きい数字の球の個数が減ってしますからです。
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■9413 / inTopicNo.5) 　Re[4]: あまり自信がありませんが…
□投稿者/ roney 一般人(5回)-(2006/02/21(Tue) 21:02:37)
    すいません。式を使って説明していただきたいのですが・・・
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■9424 / inTopicNo.6) 　途中手抜きです、ごめんなさい
□投稿者/ Tetsu 一般人(3回)-(2006/02/22(Wed) 00:16:21)
    (1) 一度もmより大きい数字の球をひかないことが必要十分。
    球は箱にN個入っていて、そのうちm以下の数字のかかれたものはm-2個 (m個のうち、手元の2個以外)
    ∴P(Y≦m)=(m-2/N)^n …(答)

    (2) n回目を終えた時点で、X≦m かつ Y≦m である確率をa[n]、X≦m かつ Y＞m である確率をb[n] とおく。
    n+1回目を終えた時点で、X≦m かつ Y≦m であるのは、n回目を終えた時点で、X≦m かつ Y≦m であり、n+1回目に引く球の数字がm以下であればよい。
    ∴a[n+1]=(m-2)a[n]/N …(*)

    n+1回目を終えた時点で、X≦m かつ Y＞m であるのは、次の2通りが考えられる。
    i)n回目を終えた時点で、X≦m かつ Y≦m であり、n+1回目に引く球の数字がmより大きい。
    ii)n回目を終えた時点で、X≦m かつ Y＞m であり、n+1回目に引く球の数字がm以下。
    ∴b[n+1]=(N+2-m)a[n]/N+(m-1)b[n]/N …(**)

    (*)と、a[1]=(m-2)/N より、a[n]=(m-2/N)^n (←もちろん(1)の答えと一致します)
    これを(**)に代入して、(*)の両辺に{N/(m-1)}^(n+1) をかけ、c[n]=b[n]{N/(m-1)}^n とおくと、c[n]に関する階差数列が出来ます。
    これとb[1]=(N+2-m)/N より、c[n] を求めることができ、c[n]とb[n]の関係式より、b[n]がわかります。
    P(X≦m)=a[n]+b[n] なので、それらを代入して答えが出ます。

    あまりきれいな解法ではありません。力でねじ伏せてるような解き方です。
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■9462 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 途中手抜きです、ごめんなさい
□投稿者/ ｒoney 一般人(1回)-(2006/02/22(Wed) 17:49:30)
    Tetsuさん、どうもありがとうございました。。よくわかりました！
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