 | > t秒後の位置xを求めるためには
> v=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a}) (∵a=√(mg/k))
> をtで積分すれば良いんですよね。
そうですね。
前の問題のことで、私は下向き（重力の向き）を正として座標軸を取りましたが、
上向きを正として座標軸をとるとSATYさんの立てられた運動方程式であってました。
すいません。vは符号が変わるだけなので、もし都合が悪ければ符号は換えてください。
（以後も下向き（重力の向き）を正として座標軸をとって進めます。）
（あと、問題は落下（v>0）なので関係ありませんが、v<0では、mdv/dt=mg+kv^2となります。）
x=∫[0〜t]v(t)dt
=∫[0〜t]a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a}) dt
=a∫[0〜t](1+Ae^{-bt})/(1-Ae^{-bt}) dt (∵b=2g/a)
=a∫[0〜t]{(1-Ae^{-bt})+2Ae^{-bt} }/(1-Ae^{-bt}) dt
=a∫[0〜t]dt+2aA∫[0〜t]e^{-bt}/(1-Ae^{-bt}) dt
[e^{-bt}=uと置換、e^{-bt}dt=du/(-b)]
=at+(2a/b)∫[1〜e^{-bt}] A/(Au-1) du
=at+[(2a/b)log(Au-1)][1〜e^{-bt}]
=at+(2a/b)log{(Ae^{-bt}-1)/(A-1)}
(∵a=√(mg/k), b=2g/a, A=(v0-a)/(v0+a))
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