数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係 / Page: 0]

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■9343 / inTopicNo.1)

　空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

□投稿者/ SATY 一般人(1回)-(2006/02/20(Mon) 09:15:24)

　空気中を鉛直線に沿って落下する物体が速度vの２乗に比例する空気抵抗力kv^2を受ける。物体の質量をm、重力加速度をgとして、物体が落下し始めてから時間t経過したときの速度v=f(t)を求めたいのですが、途中から式を上手く展開していけません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。
（自分が考えた式）
　この物体は重力mgを下方に、空気抵抗力がkv^2が上方に受けるので、運動方程式（質量）×（加速度）=（力）は
m・dv/dt = -mg + kv^2
　となる。これは変数分離形微分方程式なので、
1/(-g + kv^2/m)・dv = dt
　と展開し、両辺を積分して
∫1/(-g + kv^2/m)dv = ∫dt + C （Cは任意定数）
　となる。
　ここから、左辺を上手く展開できません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

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■9345 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ 白拓ベテラン(232回)-(2006/02/20(Mon) 10:13:38)

> 　（質量）×（加速度）=（力）は
> m・dv/dt = -mg + kv^2
慣性力と外力がつりあう式なので、
m・dv/dt = mg - kv^2
ですね。

> 　これは変数分離形微分方程式なので、
1/(g - kv^2/m)・dv = dt
> 　と展開し、両辺を積分して
左辺=1/(g - kv^2/m)・dv
∫1/(g - kv^2/m)dv = (-m/k)∫1/{v^2-mg/k}dv
（補題）[
∫1/{v^2-a^2}dv=∫{(v+a)-(v-a)}/{2a(v+a)(v-a)}dv
={1/(2a)}{∫1/(v-a)-1/(v+a)dv}
=log{(v-a)/(v+a)}/(2a)+C ]
であるから、a=√(mg/k)　とおくと、

左辺=(-m/k)∫1/{v^2-mg/k}dv=(-m/k)log{(v-a)/(v+a)}/(2a)+C
右辺=t+C

よって、(-m/k)log{(v-a)/(v+a)}/(2a)=t+C
(v-a)/(v+a)=Ae^{-2akt/m}

v=a(1+Ae^{-2akt/m})/(1-Ae^{-2akt/m})
=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a})
[t=0のとき　v=v0とすると、A=(v0-a)/(v0+a)]
(∵a=√(mg/k))
となります。

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■9346 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ SATY 一般人(2回)-(2006/02/20(Mon) 10:45:34)

ありがとうございます。
∫1/{v^2-a^2}dv=∫{(v+a)-(v-a)}/{2a(v+a)(v-a)}dv
={1/(2a)}{∫1/(v-a)-1/(v+a)dv}
=log{(v-a)/(v+a)}/(2a)+C ]には全く気付きませんでした。
ところで、
(v-a)/(v+a)=Ae^{-2akt/m}
はどのような意味ですか？数学の理解度が高校レベルがぎりぎりの私にとって理解できません。もし宜しければ、教えていただけないでしょうか？
さらに、
v=a(1+Ae^{-2akt/m})/(1-Ae^{-2akt/m})
=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a})
[t=0のとき　v=v0とすると、A=(v0-a)/(v0+a)]
(∵a=√(mg/k))
はなぜですか？
お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

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■9347 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ 白拓ベテラン(233回)-(2006/02/20(Mon) 11:09:27)

2006/02/20(Mon) 11:12:34 編集(投稿者)

> (v-a)/(v+a)=Ae^{-2akt/m}
> はどのような意味ですか？

log{(v-a)/(v+a)}=-2akt/m+D
両辺をeの指数にとると
左辺=e^{log{(v-a)/(v+a)}}=(v-a)/(v+a)
右辺=e^{-2akt/m+D}=e^D×e^{-2akt/m}=Ae^{-2akt/m}
∴(v-a)/(v+a)=Ae^{-2akt/m}

この式をvについて解けば次の式になります。
x=Ae^{-2akt/m}とおくと、
(v-a)/(v+a)=x
(v-a)=x(v+a)
(1-x)v=a(1+x)
v=a(1+x)/(1-x)
=a(1+Ae^{-2akt/m})/(1-Ae^{-2akt/m})

{-2akt/m=-2√(mg/k)kt/m=-2gt/√(mg/k)=-2gt/a より、｝
=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a})

> [t=0のとき　v=v0とすると、A=(v0-a)/(v0+a)]　(∵a=√(mg/k))
> はなぜですか？
(v-a)/(v+a)=Ae^{-2akt/m}
の関係がある（途中式）ので、t=0,v=v0を代入すると、
(v0-a)/(v0+a)=Ae^{0}=A
∴[t=0のとき　v=v0とすると、A=(v0-a)/(v0+a)]　(∵a=√(mg/k))

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■9348 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ SATY 一般人(3回)-(2006/02/20(Mon) 11:10:50)

ありがとうございます。なんとか途中まで理解できました。
しかし、どうしても
v=a(1+Ae^{-2akt/m})/(1-Ae^{-2akt/m})
　　　　　　　　　↓
=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a})
がわかりません。
あと少しで納得できそうです。どうか宜しくお願い致します。

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■9349 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ 白拓ベテラン(234回)-(2006/02/20(Mon) 11:14:43)

すれ違いの投稿になりましたが上のでどうでしょうか。

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■9350 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ SATY 一般人(4回)-(2006/02/20(Mon) 11:18:51)

白拓様　本当にありがとうございました。もし宜しければ、今後とも宜しくお願い致します。今から復習してみます。

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■9359 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ SATY 一般人(5回)-(2006/02/20(Mon) 15:25:45)

ありがとうございました。

解決済み!

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■9366 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 空気抵抗のある自由落下における時間・速度関係

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□投稿者/ SATY 一般人(6回)-(2006/02/20(Mon) 16:28:32)

白拓様
t秒後の位置xを求めるためには
v=a(1+Ae^{-2gt/a})/(1-Ae^{-2gt/a})　　(∵a=√(mg/k))
をtで積分すれば良いんですよね。
求めようとしたのですが、さっぱり進みません。
もし宜しければ、何度も申し訳ございませんが、教えていただけないでしょうか？
宜しくお願い致します。

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