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■9339 / inTopicNo.1) 　三角関数
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□投稿者/ roney 一般人(1回)-(2006/02/19(Sun) 23:06:33)
    ⊿ABCの外接円の半径をR,内接円の半径をrとするとき、
    (1)r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)を示せ。
    (2)R≧2rであることを示せ。
    (3)R=2rとなるのは、⊿ABCがどんな三角形のときか。

    という問題です。どなたかよろしくおねがいします。。
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■9362 / inTopicNo.2) 　Re[2]: 三角関数
□投稿者/ だるまにおん 大御所(1221回)-(2006/02/20(Mon) 16:04:11)
    角の対辺は角の小文字で表す。
    (1)
    まずsinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)…(♭)を示しましょう(示してみてね)
    示せたら、
    abc=4SR　　(S：△ABCの面積)
    ⇔2RsinAsinBsinC=r(sinA+sinB+sinC)　　(∵正弦定理＆内接円の半径と面積の関係)
    ⇔16Rsin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2)=4rcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)　(∵(♭))
    ∴r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    (2)
    4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=cosA+cosB+cosC-1=cosA+cosB-cos(A+B)-1なので
    (1)より2r/R=2{cosA+cosB-cos(A+B)-1}
    f(A)=2{cosA+cosB-cos(A+B)-1}とおくと
    f'(A)=2{-sinA+sin(A+B)}なのでA=(π-B)/2のとき極大であり
    f((π-B)/2)=-4{(sin(B/2)-1/2)}^2+1となるから2r/Rの最大値は1である
    ∴R≧2r
    (3)
    (2)で等号が成り立つのはsin(B/2)=1/2かつA=(π-B)/2のときで
    このときA=B=C=π/3であるから正三角形のとき
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■9376 / inTopicNo.3) 　Re[3]: 三角関数
□投稿者/ roney 一般人(2回)-(2006/02/20(Mon) 18:04:07)
    だるまにおんさん、ありがとうございました！！
解決済み!
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