 | 2006/02/18(Sat) 11:09:52 編集(投稿者)
f(x)=2log(x-a)-a/x (A)
とおいてf(x)の増減を調べ、y=f(x)のグラフとx軸との交点の数がaの値によってどう変化するか考えてみましょう。
(A)について
真数条件より、定義域は
a<x (B)
であり
f'(x)=2/(x-a)+a/x^2
={2x^2+a(x-a)}/{(x-a)x^2}
=(2x-a)(x+a)/{(x-a)x^2} (C)
また
lim[x→a+0]f(x)=-∞ (D)
lim[x→∞]f(x)=∞ (E)
よって
(i)a≧0のとき
(B)において
f'(x)>0
ですからf(x)は単調増加関数。
よって(D)(E)よりy=f(x)のグラフとx軸との交点の数は一個になります。
(ii)a<0のとき
f(x)は
x=a/2のとき極大値2log(-a/2)-2
x=-aのとき極小値2log(-2a)+1
を取ります。
更に
lim[x→±0]f(x)=±∞ (複号同順) (F)
であることと定義域(A)がx=0をまたがっていることに注意するとy=f(x)のグラフの形状は、x>0の部分がU字型、x<0の部分が逆U字型になります。
よって
(I)2log(-a/2)-2<0かつ2log(-2a)+1>0のとき
y=f(x)のグラフとx軸との交点の数は0個
(II)2log(-a/2)-2=0かつ2log(-2a)+1>0,又は2log(-a/2)-2<0かつ2log(-2a)+1=0のとき
（つまりy=f(x)のグラフのx>0,x<0の部分のどちらか一方のみがx軸と交点を持ち、それがx軸との接点である場合）
y=f(x)のグラフとx軸との交点の数は1個
(III)2log(-a/2)-2>0かつ2log(-2a)+1>0,又は2log(-a/2)-2<0かつ2log(-2a)+1<0
又は2log(-a/2)-2=2log(-2a)+1=0のとき
（つまり
y=f(x)のグラフのx>0,x<0の部分の両方がx軸と接する
y=f(x)のグラフのx>0,x<0の部分の一方のみがx軸と交点を持ち、それが二箇所である
場合）
y=f(x)のグラフとx軸との交点の数は2個
(IV)2log(-a/2)-2>0かつ2log(-2a)+1=0,又は2log(-a/2)-2=0かつ2log(-2a)+1<0のとき
y=f(x)のグラフとx軸との交点の数は3個
(V)2log(-a/2)-2>0かつ2log(-2a)+1<0のとき
y=f(x)のグラフとx軸との交点の数は4個
後は(I)〜(IV)それぞれについてついているaの条件から、それぞれの交点の個数に対するaの値の範囲を求めていきます。
かなり煩雑になりましたが、頑張ってみてください。
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