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■9227 / inTopicNo.1) 　不等式の証明
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□投稿者/ マーブル 一般人(5回)-(2006/02/17(Fri) 18:33:35)
    0<a<b,a+b=2のとき、1,ab,a^2+b^2/2の大小を比較せよ。

    まったく分かりません。
    解き方と答えをお願いします。
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■9228 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 大御所(1198回)-(2006/02/17(Fri) 20:22:04)
    相加平均は相乗平均より大きいので(a^2+b^2)/2＞ab(a≠bなので等号は成り立たず)であり、また(a^2+b^2)/2とabの相加平均は1なので、ab＜1＜(a^2+b^2)/2
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■9229 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 不等式の証明
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(174回)-(2006/02/17(Fri) 21:22:22)
    このような３個以上の数の大小比較では，
    まず，大小の見当をつけてみることが原則です．
    具体的には．

    > 0<a<b,a+b=2のとき、
    　とありますから，
    　　　ａ＝１/２，ｂ＝３/２
    　としてみましょう．すると，
    　　　ａｂ＝３/４，(ａ^2＋ｂ^2)/２＝５/４
    　となりますから，
    　　　ａｂ＜１＜(ａ^2＋ｂ^2)/２
    　となります．
    　ただし，これはあくまでも見当をつけただけですから，
    　きちんと証明しないといけません．

    で，証明の前に，はっきりさせないといけないことがあります．
    それは，
    　　　ａ＋ｂ＝２ ⇒ ｂ＝２−ａ　…(＊)
    と，０＜ａ＜ｂ から，
    　　　０＜ａ＜２−ｂ ⇒ ０＜ａ＜１
    です．ａ の値の範囲をはっきりさせることです．
    これは，あとできいてきます．
    それと，もと１つ大事なことは，「条件式を使って，文字は減らす」ということです．
    条件式とは，今は，(＊) です．

    では，いよいよいきましょう．
    まず，１＜(ａ^2＋ｂ^2)/２ です．
    　　(ａ^2＋ｂ^2)/２−１＝｛ａ^2＋(２−ａ)^2｝/２−１　　←(条件式を使って，ａ だけの式にした)
    　　　　　　　　　　　　＝ａ^2−２ａ＋１
    　　　　　　　　　　　　＝(ａ−１)^2＞０　(∵ (＊) より，ａ≠１)
    よって，
    　　(ａ^2＋ｂ^2)/２＞１

    次に，ａｂ＜１ です．
    　　１−ａｂ＝１−ａ(２−ａ)　　←(条件式を使って，ａ だけの式にした)
    　　　　　　＝ａ^2−２ａ＋１
    　　　　　　＝(ａ−１)^2＞０　(∵ (＊) より，ａ≠１)
    よって，
    　　１＞ａｂ

    したがって，
    　　　ａｂ＜１＜(ａ^2＋ｂ^2)/２
    は示されました．
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■9267 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 不等式の証明
□投稿者/ マーブル 一般人(6回)-(2006/02/18(Sat) 16:55:06)
    詳しい解説ありがとうございました。
解決済み!
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