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■917 / inTopicNo.1) 　数ⅢＣ
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□投稿者/ sakura ＠ 一般人(15回)-(2005/05/29(Sun) 09:57:09)
    次のように定義される数列｛a_n},{b_n}について、次のといに答えよ。
    a_1=4, a_n+1=3a_n-2
    b_1=1, b_n+1=2b_n+1

    (1) {a_n} ,{b_n}の一般項をそれぞれ求めよ。

    (2) lim(x→∞) (a_n-b_n)/(a_n+b_n)を求めよ。

    お願いします。
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■922 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数ⅢＣ
□投稿者/ あとむ 一般人(22回)-(2005/05/29(Sun) 11:15:24)
    １
    まずa_1について
    a_n+1=3a_n-2の特性方程式(a_n+1,a_nの代わりにaをおいた方程式)を解くと
    a=-1という値がでてきますので、両辺に(-1)を足します
    a_n+1-1=3a_(n)-2-1
    a_(n+1)-1=3(a_(n)-1)
    ここでa_(n)-1をc_(n)とおく。(a_1=4よりc_1=3)
    c_(n+1)=3c_(n)となるから、c_(n+1)は１つ前の項の３倍である。つまり公比3、初項３の等比数列であることが分かるから
    c_(n)=3^n⇔a_(n)-1=3^n⇔ {a_n}=3^(n)+1

    bについても同じ要領でできるので説明は省かせていただきます。
    {b_n}=2^(n)-1


    (2)
    問題にxはでてきていないのでので lim(x→∞)はlim(n→∞)の間違いではないかと思われます。
    なので、ここではlim(n→∞)として考えていきます。
    (a_n-b_n)/(a_n+b_n)=(3^n-2^(n)+2)/(3^n+2^n)
    分母と分子を3^nで割る。
    =(1-(2/3)^n+2/3^n)/(1+(2/3)^n)
    ０＜2/3＜１だから lim(n→∞)(2/3)^n=0、０＜1/3＜１だから lim(n→∞)2/3^n=0
    よって
    lim(n→∞)(1-(2/3)^n+2/3^n)/(1+(2/3)^n)=(1-0+0)/(1+0)=1

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