 | 大変な問題ですね．
(1)の証明は，解と係数の関係をうまく使って解いていきましょう
P,Qのx座標をそれぞれp,qとおくと，p,qはy=1/x，y=x+kの交点なので
1/x =x+k ⇒ x^2+kx-1=0の2解になります．
とすると，解と係数の関係によりp+q=-k，pq=-1 …(*)です．
さて，P(p,1/p)，Q(q,1/q)，R(r,1/r)とおけるので，(ただし，r>0)
PRの傾き: {1/p -1/r}/(p-r)=-1/prであり，
同様に，QRの傾き=-1/qr となります．
今，∠PRQ=90°より，(PRの傾き)*(QRの傾き)=-1 ⇒ 1/pqr^2 =-1 ⇒-pqr^2=1
(*)より，pq=-1で，r^2=1となるので，r=1 (r>0だから)．
R(1,1)で，kに依らず定点となる．
(2)△PQRの重心のx座標=(P,Q,Rのx座標の和)/3，y座標=(P,Q,Rのy座標の和)/3として求められるので
重心=((p+q+1)/3，{1/p +1/q +1}/3) =((p+q+1)/3，(p+q+pq)/3pq ) =( (1-k)/3，(k+1)/3)
とkを用いて表されます．
ここから先は，軌跡の問題です．
この重心を(X,Y)とおくと，X=(1-k)/3，Y=(1+k)/3となり，ここからkを消去すると，X+Y=2/3．
ここで，kは全実数を動くため，Xも全実数(Yも同様)を動く．
よって，求める軌跡は，直線x+y=2/3全体.
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