 | 2006/02/15(Wed) 20:03:57 編集(投稿者)
テイラー展開について理解をするためのものを以下に書きます。
＜無限回微分可能な関数f(x)がx=aで無限べき級数展開されるとき、係数をもとめる方法＞
f(x)=Σ[n=0→∞]a_n*(x-a) ←級数展開
n回微分すると
f~{n}(x)=Σ[k=n→∞][k]P[n]*a_k*(x-a)^(k-n)
{ただし、[k]P[n]=k*(k-1)*…*(k-n+1)}
x=aをこれに代入すると、
f~{n}(a)=Σ[k=n→∞][k]P[n]*a_k*(a-a)^(k-n)
=[n]P[n]*a_n=n!*a_n
よって、
a_n=f~{n}(a)/n!, f(x)=Σ[n=0→∞]a_n*(x-a)
とあらわせます。
f(x)=e^xのx=0でのテイラー展開は
a_n=f~{n}(0)/n!=e^0/n!=1/n!
e^x=Σ[n=0→∞]x^n/n!
x=1とすると
e=Σ[n=0→∞]1/n!=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・となります。
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