 | 2006/02/18(Sat) 12:59:32 編集(投稿者)
問題の領域Dをxy平面に平行な平面z=kで切れば、その断面は正方形になります。
この正方形の領域Gを不等式で表すことにより、まずはDを不等式で表してみましょう。
取っ掛かりは、Gの4つの頂点の座標をkで表すことです。
条件から
D:z=k,k≦x≦2-k,k≦y≦2-k,0≦k≦1 (A)
ここで
↑PQ=(-1,-2/3,-1/3)
により、Dをx,y,z軸方向に-1,-2/3,-1/3だけそれぞれ平行移動させればD'となるので
D':z=k-1/3,k-1≦x≦2-k-1,k-2/3≦y≦2-k-2/3,0≦k≦1
つまり
D':z=k-1/3,k-1≦x≦1-k,k-2/3≦y≦4/3-k,0≦k≦1 (B)
(B)においてk-1/3=lと置くと
D':z=l,l-2/3≦x≦4/3-l,l-1/3≦y≦1-l,-1/3≦l≦2/3 (B)'
D,D'を同一の平面z=mで切った場合の断面で考えることにより(A),(B)''から
D:z=m,m≦x≦2-m,m≦y≦2-m,0≦m≦1 (A)'
D':z=m,m-2/3≦x≦4/3-m,m-1/3≦y≦1-m,-1/3≦m≦2/3 (B)''
よってD,D'の共通領域をEとすると、(A)',(B)''から
E:z=m,m≦x≦4/3-m,m≦y≦1-m,0≦m≦2/3
となるから、平面z=kによるEの断面積をS(m)とすると
S(m)={(4/3-m)-m}{(1-m)-m}
=(2m-4/3)(2m-1)
=4m^2-(14/3)m+4/3
∴求める体積をVとすると
V=∫[0→2/3]S(m)dm
=∫[0→2/3]{4m^2-(14/3)m+4/3}dm
=…
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