 | 2006/02/12(Sun) 13:31:18 編集(投稿者)
いずれの場合も極座標に変換してみましょう。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置き、ヤコビヤンをJとすると
J=r
①
このとき
D={(r,θ);0≦r<a,-π<θ<π}
となりますので
∬D xdxdy
=∫[θ:-π→π]∫[r:0→a](r^2)cosθdrdθ
=…
②
このとき
D[n]={(r,t);0≦r≦n,0≦θ≦2π}
と置けば{D[n]}は単調増加列であり
lim[n→∞]D[n]=R^2
ですので
∬R^2 1/(x^2+y^2+1)^3/2dxdy
=lim[n→∞]∬D[n] 1/(x^2+y^2+1)^3/2dxdy
=lim[n→∞]∫[θ:0→2π]∫[r:0→n] {r/(r^2+1)^3/2}drdθ
=…
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