 | ∠ABC=θとおくと∠ACB=2π/3-θ
BE=cosθ
CE=sinθ
BD=sin(2π/3-θ)=sin{π/2-(θ-π/6)}=cos(θ-π/6)
CD=cos(2π/3-θ)=sin(θ-π/6)
∠DBC=∠QEC=∠PBE=θ-π/6
∠ECB=∠PDB=∠QCD=π/2-θ
などが成り立つので
PB=BE*cos∠PBE=cosθ*cos(θ-π/6)
QC=CD*cos∠QCD=sin(θ-π/6)*cos(π/2-θ)=sin(θ-π/6)*sinθ
PQ=PD+DQ=BD*cos∠PDB+CD*sin∠QCD=cos(θ-π/6)*cos(π/2-θ)+sin(θ-π/6)*sin(π/2-θ)=cos(θ-π/6)*sinθ+sin(θ-π/6)*cosθ
となるので、面積Sは
S=(1/2)(PB+QC)(PQ)
＝(1/2){cosθ*cos(θ-π/6)+sin(θ-π/6)*sinθ}{cos(θ-π/6)*sinθ+sin(θ-π/6)*cosθ}
＝(1/2){cos(π/6)}{sin(2θ-π/6)} (ここは加法定理を使いました。)
＝(√3/4)sin(2θ-π/6)
≦√3/4
となって、示せました。
＊注意＊
誤記の可能性を多分に含んでおります。
おかしいと思ったところはすぐにご報告を。
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