 | > I_n=∫[1→e](logx)^n dxとする。
> ①I_1を求めよ。
I_1=∫[1→e]logx dx={xlogx}[1→e]-∫[1→e]1 dx={eloge-0}-{e-1}=1
> ②I_(n+1)を部分積分することによってI_(n+1)をI_nを用いて表せ。
I_(n+1)=∫[1→e](logx)^(n+1) dx=x(logx)^(n+1)[1→e]-∫[1→e]x(n+1)(logx)^n(1/x) dx
=e-(n+1)∫[1→e](logx)^ndx=e-(n+1)I_n
> ③①②の結果を用いてI_3,I_4を求めよ。
I_3=e-3I_2=e-3(e-2I_1)=-2e+6I_1=6-2e
I_4=e-4I_3=e-4(6-2e)=9e-24
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