 | > 1.三角形ABCの周の長さl,面積Sをそれぞれθを用いて表せ。
AB=AC=2acosθ,BC=2ABsinθ
l=2*2acosθ+2ABsinθ=4acosθ(1+sinθ)
S=(1/2)(2acos^2θ)(2acosθsinθ)=4a^2cos^3θsinθ
>2.1でのl,Sの最大値をそれぞれ求めよ。
dl/dθ=-4asinθ(1+sinθ)+4acos^2θ=-4a(2sin^2θ+sinθ-1)=0
よって、sinθ=1/2
∴l=4a(√3/2)(1+1/2)=3√3a
dS/dθ=4a^2{-3cos^2θsin^2θ+cos^4θ}=4a^2cos^2θ(1-4sin^2θ)=0
0<θ<π/2より sinθ=1/2
∴S=4a^2(√3/2)^3(1/2)=(3√3/4)a^2
両方とも正三角形のとき最大値になります。
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