数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 数Ⅲ極限(無限等比級数) / Page: 0]

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■890 / inTopicNo.1)

　数Ⅲ極限(無限等比級数)

□投稿者/ 5103 一般人(24回)-(2005/05/28(Sat) 14:58:31)

動点Pが原点Oから出発して、P<1>,P<2>,P<3>…と進んでいく。
ただし、OP<1>=1,P<1>P<2>=(1/2)OP<1>,P<2>P<3>=(1/2)P<1>P<2>,…,P<n-1>P<n>=(1/2)P<n-2>P<n-1>,…である。
このとき、点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ。
という問題なんですが、わかりません。とりあえずP<1>,P<2>,P<3>,…と座標を書いて法則を見つけようとしたのですが、行き詰ってしまいました。どうすればいいのでしょうか？

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■891 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ あとむ一般人(11回)-(2005/05/28(Sat) 15:18:27)

それだけではO,P<1>,P<2>,P<3>…の位置関係が分かりません。

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■892 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ X 付き人(78回)-(2005/05/28(Sat) 15:23:29)

逆に質問しますが、動点Pは座標平面上の点ですか？それとも数直線上の点でしょうか？

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■893 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ 5103 一般人(25回)-(2005/05/28(Sat) 15:41:16)

すみません、図をすっかりわすれていました。改めてよろしくお願いします。

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■894 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ あとむ一般人(12回)-(2005/05/28(Sat) 16:41:55)

x座標はmを自然数とすると
P〈4m-3〉のとき(1/2)^(4m-4)増加し、
P〈4m-1〉のとき(1/2)^(4m-2)減少する。
したがってx座標は
初項１、公比1/16の無限等比級数と初項-1/4、公比1/16の無限等比級数の和であるから
1/(1-1/16)-(1/4)/(1-1/16)=4/5

y座標についても同じように
P〈4m-2〉のとき(1/2)^(4m-3)増加し、
P〈4m〉のとき(1/2)^(4m-1)減少する。
したがってy座標は
初項1/2、公比1/16の無限等比級数と初項-1/8、公比1/16の無限等比級数の和であるから
(1/2)/(1-1/16)-(1/8)/(1-1/16)=2/5

よって求める座標は(4/5,2/5)

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■895 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ 5103 一般人(26回)-(2005/05/28(Sat) 18:15:13)

＞P〈4m-3〉のとき(1/2)^(4m-4)増加し、
＞P〈4m-1〉のとき(1/2)^(4m-2)減少する。
の意味がわからないです。何からわかるのでしょうか？

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■897 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ あとむ一般人(13回)-(2005/05/28(Sat) 19:51:24)

> の意味がわからないです。何からわかるのでしょうか？
すみません。書き方が変でした。
P〈0〉とOが一致するとして
P〈4m-４〉からP〈4m-3〉に移動するとき(1/2)^(4m-4)増加し、
P〈4m-2〉からP〈4m-1〉に移動するとき(1/2)^(4m-2)減少する。
として考えてください。

例えばmに1を代入すると
P〈0〉(つまりO)からP〈1〉に移動するとき(1/2)^(0)(=1)増加し、
P〈2〉からP〈3〉に移動するとき(1/2)^2(=1/4)減少する
同じようにmに2を代入すると
P〈4〉からP〈5〉に移動するとき(1/2)^4(=1/16)増加し、
P〈6〉からP〈7〉に移動するとき(1/2)^6(=1/64)減少するというふうになります。

また、図からPの移動する方向は
x座標の正方向→y座標の正方向→x座標の負方向→y座標の負方向→…
この４種類の移動の繰り返しになっています。
これを文字を使って表すと、
P〈4m-4〉からP〈4m-3〉への移動のときPはx座標の正方向に、(P〈0〉（=O）からP〈1〉など)
P〈4m-3〉からP〈4m-2〉への移動のときPはy座標の正方向に、(P〈1〉からP〈2〉など)
P〈4m-2〉からP〈4m-1〉への移動のときPはx座標の負方向に、(P〈2〉からP〈3〉など)
P〈4m-1〉からP〈4m〉への移動のときPはy座標の負方向に、(P〈3〉からP〈4〉など)
ということができます。

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■903 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ 5103 一般人(27回)-(2005/05/28(Sat) 21:35:58)

＞P〈4m-４〉からP〈4m-3〉に移動するとき(1/2)^(4m-4)増加し、
とありますが、P〈4m-４〉は問題にないものですから、いったいどこからこれがでてきたのかそもそもわからないんですが…

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■907 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ あとむ一般人(18回)-(2005/05/29(Sun) 00:50:36)

図からです。
式だけでは分かりずらいかもしれませんが、図を書けば理解できると思います。
そのときのポイントとしては、Pの進む方向によって４通りに場合分けすることです。
それでも分からないときはまた聞いてください。

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■915 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ 5103 一般人(28回)-(2005/05/29(Sun) 08:37:23)

> 式だけでは分かりずらいかもしれませんが、図を書けば理解できると思います。
> そのときのポイントとしては、Pの進む方向によって４通りに場合分けすることです。
図は自分で書いたのですが、そのときはとくに何も考えませんでした。4通りに場合わけとありますが、なぜ「４」なのかわかりません。何をもって「４通り」と思いつけばいいのでしょうか？

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■916 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ あとむ一般人(20回)-(2005/05/29(Sun) 09:47:22)

Pの進む方向です。
x軸正方向、y軸正方向、x軸負方向、y軸負方向で４通りになります。

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■919 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 数Ⅲ極限(無限等比級数)

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□投稿者/ 5103 一般人(29回)-(2005/05/29(Sun) 10:05:48)

＞P〈4m-４〉からP〈4m-3〉
とかの-４や－3はなんですか？

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