数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 順列・組み合わせの融合問題 / Page: 0]

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■89 / inTopicNo.1)

　順列・組み合わせの融合問題

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□投稿者/ エンティー＠一般人(1回)-(2005/04/15(Fri) 22:41:22)

６種類の文字a,b,c,d,e,fを用いて、４文字からなる文字列をつくる場合を考える。同じ文字を３度まで使用してよいとすると、文字列のつくり方は何通りあるか。
これを誰か教えてください。

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■92 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 順列・組み合わせの融合問題

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□投稿者/ KINO 一般人(5回)-(2005/04/16(Sat) 01:22:45)

■No89に返信(エンティーさんの記事)

要領よく数え上げる方法もありそうですが，思いつかないので次のように場合分けして地道に数え上げてみました。

同じ文字は3個までしか使えませんので，4文字の単語を作るには最低でも2種類の文字を使う必要があります。

(1) 2文字だけ使用。
(i) 1文字が3個，もう1文字が1個。
3個使う文字と1個使う文字を選ぶのは，6種類の文字から2種類選んで並べる順列の数に等しく，6*5=30 通りあります。
その各々に対し，作った4文字のうち，どこに1個だけ使う文字を置くかで 4 通りあります。（空いた残りの3ヵ所には自動的に3個使う文字が収まります。）
よって 4*30=120 通り。
(ii) 両方とも2個ずつ使用。
今度は，どの2種類の文字の組み合わせで考えるか，ということで 6*5/(2*1)=15 通りの文字の選び方があります。そして選んできた2種類の文字のうち，1種類の文字2個を4文字の単語のどの位置に置くかで，4つのものから2つのものを選ぶ組み合わせの数だけ場合が分かれますので，4*3/(2*1)=8 通りの場合があります。
よって 15*8=120 通り。
(1) の場合は 120+120=240 通り。

(2) 3文字だけ使用。
これは1種類だけ2文字で，残りの2種類は1文字ずつしか使えません。
2文字を使うことにする文字の種類の選び方は 6 通り，その各々に対し，残った5種類の文字から，2種類の文字を選ぶ組み合わせは 5*4/(2*1)=10 通りあります。
よって文字の種類の選び方は 6*10=60 通り。
あとは選んだ文字をどう並べるかを数えればいいのですが，まず2個使っていい文字を4つの場所のうちどこに並べるかの組み合わせで 4*3/(2*1)=6 通り。
空いた2ヵ所に，2種類の文字を1つずつ置くのは順番がありますので順列の考え方で 2 通りあります。よって文字の並べ方は 6*2=12 通りあります。
文字の種類の選び方と文字の並べ方を掛け合わせたのが3文字だけ使用した場合の単語の作り方の総数ですので，60*12=720 通りあります。

(3) 4種類の文字を1つずつ使用。
これは6種類の文字から4つを選んで並べる順列の数に等しく，6*5*4=120 通り。

(1), (2), (3) は互いに排反なので重複して数えてはいません。
よって求める組み合わせの個数は3つの場合の数の和で
240+720+120=1080 通り。

正直，あまり自信は無いので間違っていたらごめんなさい。

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■98 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 順列・組み合わせの融合問題

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□投稿者/ K.M. 一般人(1回)-(2005/04/16(Sat) 13:37:46)
http://www.geocities.jp/t_miyaga/

■No92に返信(KINOさんの記事)
横から失礼します。
少し計算ミスがあるようです。
(1)のⅱ)：4*3/(2*1)=6
(3)は、6P4=6*5*4*3=360
全部で、210+720+360=1290 通り

箱を4つ並べて番号をNo1,2,3,4とする。
No1の箱への文字の入れ方は6通り、その各々についてNo2への文字の入れ方は6通り、
以下同様に考えて、異なる6個から重複を許して4個とる重複順列の個数は
6^4=1296 通り。このうち、同じ文字を4個並べた順列が6個ある。
故に求める数は、 1296-6= 1290 通り。

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■103 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 順列・組み合わせの融合問題

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□投稿者/ エンティー＠一般人(2回)-(2005/04/16(Sat) 19:02:16)

回答ありがとうございますおかげで納得できました

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■105 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 順列・組み合わせの融合問題

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□投稿者/ KINO 一般人(7回)-(2005/04/16(Sat) 20:16:46)

■No98に返信(K.M.さんの記事)

たびたびミスを訂正していただいて，お世話になっております。
ありがとうございます。＞K.M.さん

K.M.さんの示された解答はシンプルで素晴らしいと思います。

いやいや，それにしてもそうした数え方を見抜けるか見抜けないかで，計算量が違い，挙句の果てに計算間違いでバツになってしまう危険まで生じるわけですから，
順列・組み合わせの単元はとても恐ろしいですねぇ・・・。
エンティーさんもぜひ，K.M.さんのようなセンスを身につけることを目指してはいかがでしょうか・・・？

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