 | 初めまして、分からない所がありましたので宜しくお願いします。
青チャート3+CのP41 例題22からです。
rを定数としa[1]=0,a[2]=1.a[n]=r^2a[n-1]+ra[n-2] (n=3,4,・・・)で定められた数列{a[n]}が0でない極限に収束するとする。
(1) ｒはr^2=1-rを満たすことを示せ。
(解答)
n→∞ のとき a[n]→α(α≠0)とする。
a[n]=r^2a[n-1]+ra[n-2] の両辺でn→∞とすると
α=r^2α+rα となり、両辺をαで割ると、rはr^2=1-rを満たす。
(2) rが(1)の条件を満たすとき b[n]=a[n]-a[n-1] (n=2,3,・・・)
で定義された数列{b[n]}の一般項をrを用いて表せ。
(解答)
rはr^2=1-rを満たすので、n≧3のとき
a[n]=r^2a[n-1]+ra[n-2] から a[n]=(1-r)a[n-1]+ra[n-2]
ゆえに、a[n]-a[n-1]=-r(a[n-1]-a[n-2])
b[2]=a[2]-a[1]=1であり、b[n]=-rb[n-1] を満たすから
数列{b[n]}は公比-rの等比数列になる。
よって、n≧2のとき b[n]=(-r)^{n-2}b[2]=(-r)^{n-2}
(3)この数列{a[n]}の0と異なる極限を求めよ。
(解答)
(1)よりr≠±1 であり a[1]=0から、n≧2のとき
a[n]=Σ[k=2,n]b[k]=Σ[k=2,n](-r)^{k-2}=(1-(-r)^{n-1})/(1+r)
数列{a[n]}が収束するから -1<-r<1 すなわち ｜r｜<1
r^2+r-1=0の解で｜r｜<1 となるのは r=(-1+√5)/2
このとき
lim[n→∞]a[n]=lim[n→∞](1-(-r)^{n-1})/(1+r)=1/(1+r)=r=(-1+√5)/2
となっていますが、(3)の解答の始めで何故r≠±1となるのでしょうか？
補足として
「0と異なる極限を求めるからrはr^2=1-rを満たす。すなわちr≠±1」
となっていますが、？？？です。
確かにrはr^2=1-rを満たすならr≠±1ではあるのですが
±1以外にも色んな数で言える事だと思うのですが・・・
例えば r≠±1/2 など・・。
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