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■8663 / inTopicNo.1)

　数列です

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□投稿者/ あｄ一般人(1回)-(2006/02/06(Mon) 04:05:16)

a1=2,a2=3,a(n+1)=an+1+1/a(n-1)an(n=2,3,4,‥)で定義される数列anについて
lim(n→∞)an/nの値を求めなさい

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■8668 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列です

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1080回)-(2006/02/06(Mon) 10:24:32)

まず、数学的帰納法でn+1≦a[n]≦n+3・・・(♪)を示す。
(壱)n=1，n=2のときはそれぞれa[1]=2，a[2]=3なので成立。
(弐)n=k，n=k+1のとき成立しているとすると、
k+1≦a[k]≦k+3，k+2≦a[k+1]≦k+4なので1/{(k+3)(k+4)}≦1/{a[k]a[k+1]}≦1/{(k+1)(k+2)}
∴0≦1/{a[k]a[k+1]}≦1
よって、
a[k+2]=a[k+1]+1+1/{a[k]a[k+1]}
≧(k+2)+1+0
=k+3
a[k+2]=a[k+1]+1+1/{a[k]a[k+1]}
≦(k+3)+1+1
=k+5
∴k+3≦a[k+2]≦k+5
よってn=k+2のときも成立する。
(壱)，(弐)より全てのnにおいて(♪)が成立する。

さて、(♪)の両辺をnで割ると
(1+1/n)≦a[n]/n≦(1+3/n)
n→∞のとき右辺と左辺は1に収束する。
よってハサミウチの原理によりlim[n→∞]a[n]/n=1

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