 | 対偶「cos(α/m)が有理数ならばcosαも有理数」を示せばよく、
さらにα/m=θとおくと、「cosθが有理数ならばcos(mθ)も有理数」を示せばよい。
ド・モアブルの定理より
cos(mθ)+isin(mθ)
=(cosθ+isinθ)^m
=∑[k=0～m]mCk(cosθ)^(m-k)(isinθ)^m
=(cosθ)^m+mC1(cosθ)^(m-1)(isinθ)+mC2(cosθ)^(m-2)(isinθ)^2+…+(isinθ)^m
=(cosθ)^m+mC2(cosθ)^(m-2){(cosθ)^2-1}+…+i{mC1(cosθ)^(m-1)(sinθ)+…
となるので、実部を比較すると、cos(mθ)は明らかにcosθの整数係数の多項式で表すことができる。
よって「cosθが有理数ならばcos(mθ)も有理数」が示され、「cos(α/m)が有理数ならばcosαも有理数」も示され、
「cosαが無理数ならばcos(α/m)も無理数」であることが示された。
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