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■8659 / inTopicNo.1) 　助けてください
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□投稿者/ ゆうき 一般人(1回)-(2006/02/06(Mon) 01:07:25)
    xyz空間内にC(0,0,1)を中心とする半径１の球Sがある。S上の点N(0,0,2)と
    xy平面上の点Pを結ぶ直線がSと交わる点のうち、Nと異なる点をQとおくとき、
    次の各問に答えよ。
    (1)CQ↓をOC↓,OP↓と│OP↓｜で表せ。
    (2)e↓=(cosα,sinα,0)とする。CQ↓とe↓のなす角度が60゜となるように点Pが
    動くとき、点Pの軌跡の方程式を求めよ


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■8869 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 助けてください
□投稿者/ X 大御所(373回)-(2006/02/09(Thu) 18:29:30)
    (1)
    z軸,点Pを含む平面に注目します。
    ↑CQを直接求めることよりも間接的に計算することを考えます。
    ここではまず↑OQを↑OC,↑OPと│↑OP｜で表してみます。

    条件から
    ↑OQ=x↑OP+y↑OC (A)
    (x,y:0、又は正の実数)
    と置くことができます。
    一方、円周角により∠NQO=90°(B)
    ∴↑OQ・↑NP=0 (C)
    更に
    ↑NP=↑OP-↑ON
    =↑OP-2↑OC (D)
    (A)(D)を(C)に代入すると
    (x↑OP+y↑OC)・(↑OP-2↑OC)=0
    ∴x|↑OP|^2+(y-2x)↑OP・↑OC-2y|↑OC|^2=0 (E)
    ここで↑OP⊥↑OCゆえ
    ↑OP・↑OC=0 (F)
    又
    |↑OC|=1 (G)
    (E)(F)(G)より
    y=(x/2)|↑OP|^2
    これを(A)に代入して
    ↑OQ=x{↑OP+(1/2){|↑OP|^2}↑OC} (H)
    所で(B)より△NOQ∽△NPO
    ∴OQ=(ON/NP)OP=2OP/√(4+OP^2) (I)
    (H)より
    OQ^2=(x^2){|↑OP|^2+{|↑OP|^2}↑OC・↑OP+(1/4){|↑OP|^4}|↑OC|^2}
    ={(x^2)/4}{4+|↑OP|^2}|↑OP|^2
    (I)をこれに代入すると
    4|↑OP|^2/(4+|↑OP|^2)={(x^2)/4}{4+|↑OP|^2}|↑OP|^2
    ∴x=4/(4+|↑OP|^2)
    ∴(H)は
    ↑OQ={4/(4+|↑OP|^2)}{↑OP+(1/2){|↑OP|^2}↑OC}
    よって
    ↑CQ=↑OQ-↑OC
    ={1/(4+|↑OP|^2)}{4↑OP+2{|↑OP|^2}↑OC}-↑OC
    ={1/(4+|↑OP|^2)}{4↑OP+(|↑OP|^2-4)↑OC}

    (2)
    条件より
    |↑CQ|=|↑e|=1
    で↑CQと↑eのなす角度が60゜であるから
    ↑e・↑CQ=cos60゜=1/2
    これに(1)を代入し
    ↑e・↑OC=0　(∵)↑e⊥↑OC
    に注意すると
    {4/(4+|↑OP|^2)}↑OP・↑e=1/2
    ∴↑OP=(x,y,0)と置くと
    {4/(4+x^2+y^2)}(xcosα+ysinα)=1/2
    ∴8(xcosα+ysinα)=4+x^2+y^2
    整理して、求める方程式は
    円：(x-4cosα)^2+(y-4sinα)^2=12,z=0
    (空間図形で平面z=0（つまりxy平面）上の曲線ですのでz=0は必ずつけましょう。)
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