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■8613 / inTopicNo.1)

　NO TITLE

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□投稿者/ おねがいします一般人(1回)-(2006/02/05(Sun) 19:42:29)

mを正の整数、nを正の奇数とするとき、次の(1),(2)を示せ。
(1)整式x^n+y^nはx+yで割り切れる.
(2)f(m,n)=2(1^n+2^n+･･･+m^n)とするとき、f(m,n)はm(m+1)で割り切れる.

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■8616 / inTopicNo.2)

　Re[1]: NO TITLE

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1073回)-(2006/02/05(Sun) 20:21:47)

(1)
nは奇数なので
x^n+y^n
=x^n-(-y)^n
=(x-(-y))∑[k=0～n-1]x^(n-k-1)(-y)^k
=(x+y)∑[k=0～n-1]x^(n-k-1)(-y)^k
よってx^n+y^nはx+yで割り切れる。

(2)
f(m，n)
=2∑[k=1～m]k^n
=∑[k=1～m]{k^n+(m-k+1)^n}
=(m+1)P(m，n)　(P(m，n)は∑[k=1～m]{k^n+(m-k+1)^n}をm+1で割ったもの。(1)より必ずm+1で割り切れます。)
よってf(m，n)はm+1で割り切れる。・・・(★)

f(m，n)
=2∑[k=1～m]k^n
=∑[k=1～m-1]{k^n+(m-k)^n}+2m^n
=mQ(m，n)+2m^n　(Q(m，n)は∑[k=1～m-1]{k^n+(m-k)^n}をmで割ったもの。(1)より必ずmで割り切れます。)
よってf(m，n)はmで割り切れる。・・・(☆)

(★)，(☆)及びm，m+1は互いに素であることからf(m，n)はm(m+1)で割り切れる。

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