数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 積分 / Page: 0]

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■8612 / inTopicNo.1)

　積分

□投稿者/ 歩一般人(1回)-(2006/02/05(Sun) 19:36:10)

∫√（4-x^2)dx
問1.ｘ＝2sinθ、-2sinθとしてそれぞれ解け
問2.ｘ：0→1の定積分を求めよ　　
ｘ＝2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
ｘ＝-2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
この後ができません
ｘ：0→1に対応するθがたくさんあるのですがどうするのですか？

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■8673 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ 白拓ファミリー(164回)-(2006/02/06(Mon) 12:27:43)

一番積分区間が短くなるようにとるのがいいと思います。
（定積分）
<ｘ＝2sinθと置換>
∫[0→1]√（4-x^2)dx＝∫[0→π/6]｜2cosθ｜2cosθdθ
=4∫[0→π/6]cos^2(θ)dθ=2∫[0→π/6]{1+cos(2θ)}dθ=π/3+√3/2
<ｘ＝-2sinθと置換>
∫[0→1]√（4-x^2)dx＝∫[0→-π/6]｜2cosθ｜(-2cosθdθ)
=-4∫[0→-π/6]cos^2(θ)dθ=2∫[-π/6→0]{1+cos(2θ)}dθ=π/3+√3/2

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■8709 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ 歩一般人(2回)-(2006/02/07(Tue) 16:45:18)

∫√（4-x^2)dx
問1.ｘ＝2sinθ、-2sinθとしてそれぞれ解け
ｘ＝2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
ｘ＝-2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
不定積分はどうなりますか？

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■8793 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ 白拓ファミリー(173回)-(2006/02/08(Wed) 13:21:43)

> 不定積分はどうなりますか？
y=√（4-x^2)の定義域　-2≦x≦2
ｘ＝2sinθ （∵　-π/2≦θ≦π/2）
とおくと、dx=2cosθdθ
√（4-x^2)dx＝∫｜2cosθ｜2cosθdθ=4∫｜cosθ｜cosθdθ=4∫cos^2θdθ
=2∫1+cos(2θ)dθ=2(θ+(1/2)sin(2θ))=2θ+2sin(θ)cos(θ)
=2θ+2sin(θ)√(1-sin^2(θ))
{θ=Sin^(-1)(x/2)であるから}=2Sin^(-1)(x/2)+x√(1-(x/2)^2)
=2Sin^(-1)(x/2)+(x/2)√(4-x^2)

ｘ＝-2sinθ （∵　-π/2≦θ≦π/2）
とおくと、dx=-2cosθdθ
√（4-x^2)dx＝∫｜2cosθ｜(-2cosθdθ)=-4∫｜cosθ｜cosθdθ=-4∫cos^2θdθ
=-2∫1+cos(2θ)dθ=-2(θ+(1/2)sin(2θ))=-2θ-2sin(θ)cos(θ)
=-2θ-2sin(θ)√(1-sin^2(θ))
{θ=Sin^(-1)(-x/2)であるから}=-2Sin^(-1)(-x/2)+x√(1-(-x/2)^2)
=2Sin^(-1)(x/2)+(x/2)√(4-x^2)

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■8810 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ 歩一般人(3回)-(2006/02/08(Wed) 17:40:30)

> =2θ+2sin(θ)√(1-sin^2(θ))
> {θ=Sin^(-1)(x/2)であるから}=2Sin^(-1)(x/2)+x√(1-(x/2)^2)
> =2Sin^(-1)(x/2)+(x/2)√(4-x^2)

θ=Sin^(-1)(x/2)、sin^2(θ)＝(x/2)^2
ここがわかりません

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■8814 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 積分

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□投稿者/ 白拓ファミリー(175回)-(2006/02/08(Wed) 19:23:36)

> θ=Sin^(-1)(x/2)、sin^2(θ)＝(x/2)^2
> ここがわかりません

それぐらいは自分で考えてください。
｛Sin^(-1)(X)　はサインの逆関数です。読みはアークサインX,
X=sinα⇔α=Sin^(-1)X（但し、-π/2≦α≦π/2）

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■8846 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 積分

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□投稿者/ 歩一般人(5回)-(2006/02/09(Thu) 00:04:23)

∫√（4-x^2)dx
問1.ｘ＝2sinθ、-2sinθとしてそれぞれ解け
ｘ＝2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
ｘ＝-2sinθとすると∫√（4-x^2)dx＝∫｜cosθ｜cosθdθ
不定積分はどうなりますか？

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■8793 / ResNo.3) 　Re[3]: 積分

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□投稿者/ 白拓ファミリー(173回)-(2006/02/08(Wed) 13:21:43)

> 不定積分はどうなりますか？
y=√（4-x^2)の定義域　-2≦x≦2
ｘ＝2sinθ （∵　π/2≦θ≦3π/2）
とおくと、dx=2cosθdθ
√（4-x^2)dx＝∫｜2cosθ｜2cosθdθ=4∫｜cosθ｜cosθdθ=-4∫cos^2θdθ
=-2∫1+cos(2θ)dθ=-2(θ+(1/2)sin(2θ))=-2θ-2sin(θ)cos(θ)
=-2θ-2sin(θ)√(1-sin^2(θ))
{θ=Sin^(-1)(x/2)であるから}=-2Sin^(-1)(x/2)-x√(1-(x/2)^2)
=-2Sin^(-1)(x/2)-(x/2)√(4-x^2)
答えがマイナスになってしまったのですが合っていますか？

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■8849 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 積分

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□投稿者/ 白拓ファミリー(179回)-(2006/02/09(Thu) 09:26:34)

> > 不定積分はどうなりますか？
> y=√（4-x^2)の定義域　-2≦x≦2
> ｘ＝2sinθ （∵　π/2≦θ≦3π/2）
> とおくと、dx=2cosθdθ
> √（4-x^2)dx＝∫｜2cosθ｜2cosθdθ=4∫｜cosθ｜cosθdθ=-4∫cos^2θdθ
> =-2∫1+cos(2θ)dθ=-2(θ+(1/2)sin(2θ))=-2θ-2sin(θ)cos(θ)
> =-2θ-2sin(θ)√(1-sin^2(θ))
> {θ=Sin^(-1)(x/2)であるから}=-2Sin^(-1)(x/2)-x√(1-(x/2)^2)
> =-2Sin^(-1)(x/2)-(x/2)√(4-x^2)
> 答えがマイナスになってしまったのですが合っていますか？

それは２個上の私の計算ではありませんね。
紛らわしいので□投稿者/ の部分は消しておいてください。
私はｘ＝2sinθ （∵　π/2≦θ≦3π/2）ではなくｘ＝2sinθ （∵　-π/2≦θ≦π/2）
と書いたはずですが変えてしまった理由はなぜでしょうか。
アークサイン｛y=Sin^(-1)X｝の値域は(-π/2≦y≦π/2)ですので（π/2≦θ≦3π/2）
とするとそのままでは元に戻せなくなってしまいます。（なのでそれは合ってません）

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■8860 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 積分

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□投稿者/ 歩一般人(6回)-(2006/02/09(Thu) 17:18:14)

ありがとうごっざいました

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