 | ■No8556に返信(S山口さんの記事)
> 次の関数を微分せよ。
>
> 1）y=(x-1)^2(x^2+2)
>
> 全部ばらすとそれはそれで正解なのかもしれないんですが
> 公式に当てはめて計算していく過程が見たいです。
> 答えはちなみにy`=2(x-1)(2x^2-x+2)となっています。
> どう計算すればこうなるんでしょうか？
全部ばらす というのは対数微分法のことでしょうか？
両辺の対数をとって
logy=2log(x-1)+log(x^2+2)
両辺微分して
y'/y=2/(x-1)+2x/(x^2+2)
整理して
y`=2(x-1)(2x^2-x+2)
定義に従ってやれば
y'=lim[h→0]{(x+h-1)^2((x+h)^2+2)-(x-1)^2(x^2+2)}/h 展開して整理
=lim[h→0]{2hx(x-1)^2+2h(x-1)(x^2+2)+h^2(……)}/h
=lim[h→0]{2x(x-1)^2+2(x-1)(x^2+2)+h(……)}
=2(x-1)(2x^2-x+2)
>
> 次の方程式で与えられるxの関数yの導関数を求めよ。
>
> 2)xy+x-y=0
(x-1)y+x=0
x≠1から
y=-x/(x-1)
y'=1/((x-1)^2)
陰関数定理を使って
xy+x-y=0
y+xy'+1-y'=0
y'=-(y+1)/(x-1)
ともできます
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