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y=f(x)上の点(0,f(0))における接線の方程式は
y=f'(0)x+f(0)
よって
x>0のときf(x)-{f'(0)x+f(0)}>0 (A)
x>0のときf(x)-{f'(0)x+f(0)}<0 (B)
を証明すればよいことになります。
証明)
g(x)=f(x)-{f'(0)x+f(0)}
と置くと
g'(x)=f'(x)-f'(0) (C)
g''(x)=f''(x) (D)
ここで
x＞0のときf''(x)＞0，x＜0のときf''(x)＜0
ですから(D)より
x＞0のときg''(x)＞0，x＜0のときg''(x)＜0
よってg'(x)の増減を考えると、結局
g'(x)≧g'(0)=0
よってg(x)は単調増加関数であることが分かりますので
x＞0のときg(x)＞g(0)，x＜0のときg(x)＜g(0) (E)
ここで(C)より
g(0)=0 (F)
(E)(F)より(A)(B)が導かれます。
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