 | ■No8316に返信(あさぎ さんの記事)
> 放物線（半楕円）に横をｘ、縦をｙとしたとき、ｙ方向上からの直線を引いて放物線に
> 反射したらｙ＝ｃｘ２（xの2乗）の式ならばy=1/4cのところに焦点ができるというのですが、なぜ1/4cとなるのかを教えていただきたいのですが。
２次曲線の性質ですね。証明は以下のようになります。
題意のｙ方向上からの直線をx=kとし、放物線との交点をＫとし、焦点Ｐのy座標をpとする。Ｋにおける接線の方程式は y=2ckx-ck^2 であり、これとy軸との交点をＡとし原点をＯとする。反射の性質より、x=kと接線の成す角と∠ＡＫＰは等しい。今、y軸とx=kは平行であるから、x=kと接線の成す角は∠ＰＡＫに等しい（同位角）。すなわち∠ＡＫＰ＝∠ＰＡＫであるから、３角形ＡＰＫは AP=PK の二等辺３角形となる。
今、AP=AO+OP=ck^2+p
PK=√{k^2+(ck^2-p)^2}であるから、
ck^2+p=√{k^2+(ck^2-p)^2}
両辺平方して整理してpについて解くと p=1/4c となる。
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