数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 積分の証明 / Page: 0]

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■8270 / inTopicNo.1)

　積分の証明

□投稿者/ chap 一般人(5回)-(2006/01/31(Tue) 12:11:34)

aを正の数とし、f(x)={2√x＋√(a-x)}/aとおく。関数y=f(x)(0≦x≦a)のグラフをＣとする。Ｃの両端をＡ(0,f(0))、Ｂ(a,f(a))とし、Ｃと線分ＡＢで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をＶとする。
(1)y=f(x)の値の増減や極値、凹凸を調べ、Ｃの概形を書け。
(2)Ｖはaの値によらず一定であることを示せ。

この問題の、特に(2)を説明してもらえませんか？
よろしくお願いします

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■8292 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の証明

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1015回)-(2006/01/31(Tue) 19:46:05)

(2)
実際に体積を求めてみましょう。
するとaによらない値になります。
体積を求める式は分りますか？
直線ABをy=g(x)とすると、
V=π∫[0→a]{f(x)}^2-π∫[0→a]{g(x)}^2dx
ですね。

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■8377 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分の証明

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□投稿者/ chap 一般人(8回)-(2006/02/01(Wed) 22:14:27)

ありがとうございました。
あと、申し訳ないんですが、(1)も計算がごたごたになってよくわからなくなってしまったので教えていただけたらと思います
よろしくお願いします

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■8401 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分の証明

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(81回)-(2006/02/02(Thu) 04:19:54)

■No8377に返信(chapさんの記事)
> ありがとうございました。
> あと、申し訳ないんですが、(1)も計算がごたごたになってよくわからなくなってしまったので教えていただけたらと思います
> よろしくお願いします
f'(x)
={1/√x-1/2√(a-x)}/a
={2√(a-x)-√x}/{2a√x√(a-x)}

f''(x)
={-1/2x^(3/2)+1/2(a-x)^(3/2)}/a
={(a-x)^(3/2)-x^(3/2)}/{2ax^(3/2)(a-x)^(3/2)}
=[{√(a-x)}^3-(√x)^3]/{2ax^(3/2)(a-x)^(3/2)}
={√(a-x)-√x}{a-x+√x√(a-x)+x}/{2ax^(3/2)(a-x)^(3/2)}
={√(a-x)-√x}{a+√x√(a-x)}/{2ax^(3/2)(a-x)^(3/2)}

頑張って微分するだけですな。

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■8534 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分の証明

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□投稿者/ chap 一般人(9回)-(2006/02/04(Sat) 00:03:41)

う～ん。やっぱり難しいんですが、なんとかやってみます。
ありがとうございました

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