 | 2005/05/24(Tue) 12:26:38 編集(投稿者)
ベクトルの問題は(1)だけですが・・・。
(1)
条件からA(a,1/√(2a+1)),B(2a,1/√(4a+1))ゆえ
↑a=(a,1/√(2a+1)),↑b=(2a,1/√(4a+1))
∴↑a・↑b=2a^2+1/√{(2a+1)(4a+1)}
(2)
問題の曲線の式
y=1/√(2x+1)
より
y'=-1/(2x+1)^(3/2)
条件よりA(a,1/√(2a+1))ゆえ求める接線の方程式は
y-1/√(2a+1)={-1/(2a+1)^(3/2)}(x-a)
∴{-(2a+1)^(3/2)}y+(2a+1)=x-a
∴x+{(2a+1)^(3/2)}y-3a-1=0
(3)
条件より
線分OA:y=x/{a√(2a+1)}(0≦x≦a)
線分OB:y=x/{2a√(4a+1)}(0≦x≦2a)
∴求める体積をVとすると
V=∫[0→a]{π{x/{a√(2a+1)}}^2-π{x/{2a√(4a+1)}}^2}dx+∫[a→2a]{π{1/√(2x+1)}^2-π{x/{2a√(4a+1)}}^2}dx
=∫[0→a]{{π/{(a^2)(2a+1)}}x^2}dx+∫[a→2a]{π/(2x+1)}dx-∫[0→2a]{{π/{(4a^2)(4a+1)}}x^2}dx
=[{π/{(3a^2)(2a+1)}}x^3][0→a]+[(π/2)log(2x+1)][a→2a]-[{π/{(12a^2)(4a+1)}}x^3][0→2a]
=πa/{3(2a+1)}+(π/2)log{(4a+1)/(2a+1)}-2πa/{3(4a+1)}
=(π/2)log{(4a+1)/(2a+1)}-πa/{3(2a+1)(4a+1)}
|