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■823 / inTopicNo.1) 　ベクトルです！
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□投稿者/ 愛 一般人(1回)-(2005/05/23(Mon) 23:05:34)
    初めまして！ベクトルの問題で分からないところがあったので質問します。
    ＜問題＞xy平面上に原点O(0,0)と他の３点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)が与えられているとき、次の問に答えよ。
    (1)→OAと→OBのなす角がθであるとき、cosθをx1,y1,x2,y2で表せ。
    (2)△OABの面積をx1,y1,x2,y2で表せ。
    (3)△ABCの面積をx1,y1,x2,y2,x3,y3で表せ。
    ちなみに答えは(1)(x1x2+y1y2)/{√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)}
    (2)1/2｜x1y2-x2y1｜
    (3)1/2｜x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2｜です。わがままですが、できるだけ詳しく解答してほしいです。
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■834 / inTopicNo.2) 　Re[1]: ベクトルです！
□投稿者/ みっちぃ 一般人(15回)-(2005/05/24(Tue) 01:38:41)
    解答があるので，答えまでのたどり着き方のみ示して，計算は省略させていただきます．
    まず，ベクトルはOA~(=→OA)などと書きます．

    (1) 内積は，その定義よりOA~・OB~=|OA~||OB|cosθ　…①　と書くことができます．

    これから，①に座標を代入してゆくことを考えますが，まずは座標の見方について説明します．
    『A(x1,y1)とあれば，OA~=(x1,y1)となる』つまり，『点A座標は，原点からのベクトルOA~の成分』と見ます．
    同様に，OB~=(x2,y2)です．

    ここで，座標がわかっていると簡単に，OA~・OB~，|OA~|，|OB~|を表すことができます．
    OA~・OB~=x1x2+y1y2 …②(OA~，OB~のx座標同士，y座標同士をかけて足す)
    |OA~|=√(x1^2+y1^2)，|OB~|=√(x2^2+y2^2) …③は，言わなくても判りますよね?

    ②，③を①に代入するとできます．

    (2)△OAB=(1/2)*OA*OB*sinθ　…④という面積公式がありますよね．
    OA=|OA~|，OB=|OB~|なので，これは③で求めています．

    sinθですが，sin^2θ=1-cos^2θという有名な定理がありますので，(1)の答えを代入して
    sin^2θ=1 -(x1y1+x2y2)^2/(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)　ですが，
    この計算は，なんか文字がみにくいのでx1=a,y1=b,x2=c,y2=dと置きなおして計算してみます．
    sin^2θ=1 -(ab+cd)^2/(a^2+c^2)(b^2+c^2) ={(a^2+c^2)(b^2+d^2) -(ab+cd)^2)}/(a^2+c^2)(b^2+c^2)
    (頑張って展開!!)={a^2d^2-2abcd+b^2c^2}/(a^2+c^2)(b^2+d^2) =(ad-bc)^2/(a^2+c^2)(b^2+d^2)

    ここで，0°<θ<180°なので，sinθ>0となり，sinθ =|ad-bc|/√{(a^2+c^2)(b^2+d^2)} (絶対値がいります)
    置いた文字を元に戻すと
    sinθ=|x1y2-x2y1|/√{(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)}　…⑤

    ③⑤を④に代入すると(2)の答えです．

    (3) 原点Oを含まない三角形の面積は，どれか1点をOに平行移動させます．
    ここでは，CをOに平行移動させましょう．
    この説明は，言葉ではしにくいので，図を描いて見てくださいね．
    CをOに平行移動させたとき，A,BがそれぞれA'，B'に移動したとします．
    C(x3,y3)→O(0,0)なので，A(x1,y1)→A'(x1-x3,y1-y3)，B(x2,y2)→B'(x2-x3,y2-y3)です．

    ここで，△ABC=△A'B'Oであることは明らかなので，(2)の答えにA'，B'座標を代入です．
    よって，△A'B'O=|(x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)|=…=(3)の答えとなります．

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■868 / inTopicNo.3) 　Re[2]: ベクトルです！
□投稿者/ 愛 一般人(4回)-(2005/05/25(Wed) 23:05:59)
    返事遅れてすみません。ベクトルはイマイチよく分からないので、マジメに勉強しようと思いまーす！

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