数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 中線定理 / Page: 0]

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■8128 / inTopicNo.1)

　中線定理

▼■

□投稿者/ らに一般人(1回)-(2006/01/28(Sat) 15:35:13)

中線定理の証明方法が判らないのですが…
三角比で証明しようと試みたのですが力が足らず。。。
三角比でどうやって証明したら良いでしょう？

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■8129 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 中線定理

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□投稿者/ リストっち軍団(132回)-(2006/01/28(Sat) 16:10:34)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No8128に返信(らにさんの記事)
> 中線定理の証明方法が判らないのですが…
> 三角比で証明しようと試みたのですが力が足らず。。。
> 三角比でどうやって証明したら良いでしょう？
三角形ABCにおいて，AB=c,BC=a,CA=bとし，BCの中点をDとし，
中線定理を示します．
余弦定理より，AD^2=c^2+(a/2)^2-2*c*(a/2)*cosA=c^2+a^2/4-ac*cosA
BD^2=a^2/4
よって，2(AD^2+BD^2)=2{c^2+(a^2/2)-ac*cosA}=2c^2+a^2-2ac*cosA・・・【上】

そこで，また余弦定理より，b^2=a^2+c^2-2accosA
よって，AB^2+AC^2=c^2+b^2=2x^2+a^2-2ac*cosA・・・【下】
となるから，【上】【下】は一致し，中線定理の証明になります．

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■8130 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 中線定理

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□投稿者/ だるまにおん大御所(996回)-(2006/01/28(Sat) 16:15:38)

三角比ですか。珍しいですね。

△ABCがあり、BCの中点をM，∠AMB=θ，AM=x，BM=yとします。
余弦定理よりAB^2=x^2+y^2-2xycosθ，AC^2=x^2+y^2+2xycosθなので
AB^2+AC^2
=x^2+y^2-2xycosθ+x^2+y^2+2xycosθ
=2(x^2+y^2)
=2(AM^2+BM^2)
よって中線定理が示されたことになります。

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■8131 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 中線定理

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□投稿者/ だるまにおん大御所(997回)-(2006/01/28(Sat) 16:17:39)

＞リストっちさん
ごめんなさい、かぶってしまいました。
でも、少しやり方が違っているので、お許しを・・・

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■8145 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 中線定理

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□投稿者/ リストっち軍団(133回)-(2006/01/28(Sat) 21:21:35)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

2006/01/28(Sat) 21:23:41 編集(投稿者)

■No8131に返信(だるまにおんさんの記事)
> ＞リストっちさん
> ごめんなさい、かぶってしまいました。
> でも、少しやり方が違っているので、お許しを・・・
いえいえお気になさらずに＾＾；
ちなみに，中線定理の証明といえば，僕なら真っ先に座標で証明します．

だるまにおんさん，発言回数1000回おめでとうございます＾＾

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