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■8066 / inTopicNo.1) 　極限と係数の決定（S)
  ▼■
□投稿者/ S山口 付き人(77回)-(2006/01/27(Fri) 13:41:50)
    lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=2が成り立つように定数a,bの値を
    定めよ。

    分かりません。。(汗　
    ご教授おねがいします。
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■8069 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ robot 一般人(36回)-(2006/01/27(Fri) 15:13:22)
    ■No8066に返信(S山口さんの記事)
    > lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=2が成り立つように定数a,bの値を
    > 定めよ。

    [解]
    a≦0とすると,lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=∞となり等式は成り立たなくなる。よって,a＞0である。
    このとき,
    lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]
    =lim[x→∞][{x^(2)-1}-(ax+b)^2]/[√{x^(2)-1}+ax+b]
    =lim[x→∞][{1-a^(2)}x-2ab-[{b^(2)+1}/x]]/[√{1-1/x^(2)}+a+b/x]
    極限値が存在するためには,
    1-a^(2) =0,　-2ab/(1+a) =2
    a＞0より,a=1, b=-2

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■8214 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ S山口 付き人(82回)-(2006/01/30(Mon) 03:58:19)
    ありがとうございました。

    >>lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=2が成り立つように定数a,bの値を
    >>定めよ。
    >
    > [解]
    > a≦0とすると,lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=∞となり等式は成り立たなくなる。よって,a＞0である。

    どうしてa≦0のとき、等式が成り立たないんでしょうか？
    a=0を代入すると
    lim[x→∞][√{x^(2)-1}-b]になるんですが、これだとダメなんでしょうか？
    √x^2があるから無限大になってしまうのでだめだということでしょうか？

    > このとき,
    > lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]
    > =lim[x→∞][{x^(2)-1}-(ax+b)^2]/[√{x^(2)-1}+ax+b]
    > =lim[x→∞][{1-a^(2)}x-2ab-[{b^(2)+1}/x]]/[√{1-1/x^(2)}+a+b/x]

    この式は理解できました。

    > 極限値が存在するためには,
    > 1-a^(2) =0,　-2ab/(1+a) =2

    1-a^(2) はどうして0になるんでしょうか？
    -2ab/(1+a) =2　はどこからきたのか分かりません。

    質問が多くてすみません。
    おねがいします。
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■8454 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ S山口 付き人(87回)-(2006/02/02(Thu) 22:10:18)
    どなたかおねがいします。
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■8535 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(83回)-(2006/02/04(Sat) 00:52:14)
    ■No8214に返信(S山口さんの記事)
    > ありがとうございました。
    >
    > >>lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=2が成り立つように定数a,bの値を
    > >>定めよ。
    >>
    >>[解]
    >>a≦0とすると,lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]=∞となり等式は成り立たなくなる。よって,a＞0である。
    >
    > どうしてa≦0のとき、等式が成り立たないんでしょうか？
    > a=0を代入すると
    > lim[x→∞][√{x^(2)-1}-b]になるんですが、これだとダメなんでしょうか？
    だめですね。lim[x→∞][√{x^(2)-1}-b]は正の無限大に発散して有限確定値になってくれません。a<0の時も同じ理由でだめ。
    だから、必要条件としてa＞0なのだ。
    > √x^2があるから無限大になってしまうのでだめだということでしょうか？
    単にそういうことではなく、逆に√(x^2-1)がなくてlim[x→∞]{-(ax+b)}だった場合は負の無限大に発散するから駄目なんです、
    要は、∞−∞　の不定形である必要があるのです。コレがあるからコウってのは考えが短絡的ですよ？よく式を見て下さい。
    >>このとき,
    >>lim[x→∞][√{x^(2)-1}-(ax+b)]
    >>=lim[x→∞][{x^(2)-1}-(ax+b)^2]/[√{x^(2)-1}+ax+b]
    >>=lim[x→∞][{1-a^(2)}x-2ab-[{b^(2)+1}/x]]/[√{1-1/x^(2)}+a+b/x]
    >
    > この式は理解できました。
    >
    >>極限値が存在するためには,
    >>1-a^(2) =0,　-2ab/(1+a) =2
    >
    > 1-a^(2) はどうして0になるんでしょうか？
    有限確定値になるためにはxの係数は0である必要があるから。
    > -2ab/(1+a) =2　はどこからきたのか分かりません。
    もっと詳しく書くと、
    lim[x→∞][(1-a^2)x/{√(1-1/x^2)+a+b/x}-2ab/{√(1-1/x^2)+a+b/x}-(b^2+1)/x/{√(1-1/x^2)+a+b/x}]
    チョットややこしいですが、第三項目の分子は(b^2+1)/xです。ま、ばらしただけですが。で、今x→∞の時、
    第一項目は前述の通り、ゼロになってくれなきゃ困る。
    第二項目は分子はそのままで-2ab、分母は1+aにいくから第二項目全体として2にいく必要がある。
    第三項目は分子がゼロ、分母が1+aにいくから第三項目全体としてゼロにいく。
    以上より、■8069 のrobotさんのようになるのです。

    ちなみに、aとbを求めた、それだけでは答案として不十分です。それは、そうやって求めたaとbの値は必要条件であって十分条件ではないんですよ。
    必要条件でしかないことは私が冒頭でも述べていますよね。十分性の確認が必要なんです。同値性の維持が必要です。
    求めたaとbの値を題意の式に代入して計算して実際に2になることを示しておけば答案として完璧ですね。

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■8555 / inTopicNo.6) 　Re[4]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ S山口 軍団(102回)-(2006/02/04(Sat) 19:12:52)
    迷える子羊先生、いつもありがとうございます。


    > 要は、∞−∞　の不定形である必要があるのです。コレがあるからコウってのは考えが短絡的ですよ？よく式を見て下さい。

    不定形、とはどういう意味でしょうか？
    この式は∞（√x^2-1)と-∞(-ax-b)の二つがあることを言っているのですよね？

    >>
    >>-2ab/(1+a) =2　はどこからきたのか分かりません。

    すみません、これ1+aが分母にどうして行くか、まだ分からないんですが。。（汗

    > もっと詳しく書くと、
    > lim[x→∞][(1-a^2)x/{√(1-1/x^2)+a+b/x}-2ab/{√(1-1/x^2)+a+b/x}-(b^2+1)/x/{√(1-1/x^2)+a+b/x}]
    > チョットややこしいですが、第三項目の分子は(b^2+1)/xです。ま、ばらしただけですが。で、今x→∞の時、
    > 第一項目は前述の通り、ゼロになってくれなきゃ困る。

    これはxの係数はゼロにするってやつですね。

    > 第二項目は分子はそのままで-2ab、分母は1+aにいくから第二項目全体として2にいく必要がある。

    ＞分母は1+aにいくから第二項目全体として2にいく必要がある。
    というのがいまいちよくわかりません。教えてもらえないでしょうか。


    > 第三項目は分子がゼロ、分母が1+aにいくから第三項目全体としてゼロにいく。

    ＞分母が1+aにいくから
    同じくここが分かりません。

    > ちなみに、aとbを求めた、それだけでは答案として不十分です。それは、そうやって求めたaとbの値は必要条件であって十分条件ではないんですよ。
    > 必要条件でしかないことは私が冒頭でも述べていますよね。十分性の確認が必要なんです。同値性の維持が必要です。
    > 求めたaとbの値を題意の式に代入して計算して実際に2になることを示しておけば答案として完璧ですね。
    >
    aとbを当てはめることが十分条件になるんですか。。
    当てはめるとlim[x→∞]√(x^2-1)-x+2=2
    lim[x→∞]√(x^2-1)-x=0
    lim[x→∞]{(x^2-1)-x^2}/√(x^2-1)+x
    lim[x→∞]{x-(1/x)-x}/√(1-1/x^2)+1=0
    で、ゼロになると計算していくのを十分条件を表してるってことなんでしょうか？

    ながながとすみません。
    おねがいします。
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■8795 / inTopicNo.7) 　Re[5]: 極限と係数の決定（S)
□投稿者/ S山口 軍団(108回)-(2006/02/08(Wed) 14:57:23)
    どなたかおねがいします、すいません。
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